§ 4.20. Асимптота графика функции
Говорят, что
прямая 
является
вертикальной асимптотой графика непрерывной функции 
, если хотя бы один из пределов
равен 
.
Если функция задана для 
, то говорят, что
прямая 
является
наклонной асимптотой непрерывной кривой при 
, если 
, где 
, т. е. 
- бесконечно малая
функция при .
П р и м е р 1. 
(рис. 60); 
- вертикальная
асимптота, так как
.
П р и м е р 2. 
. Так как 
, то прямая 
(рис. 61) есть
наклонная асимптота при 
(и при 
).
П р и м е р
3. 
.
Ясно, что 
не
стремится к нулю при 
ни при каких 
и 
, значит, функция 
наклонных асимптот
не имеет.
Рис.
60 Рис. 61
Т е о р е м а. Для
того чтобы график функции имел при 
наклонную асимптому, необходитмо и
достаточно, чтобы существовали конечные пределы
, (1)
и тогда прямая есть асимптома.
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1)
Пусть функция 
имеет
наклонную асимптому при , . Тогда , где 
, . Отсюда
,
.
2) Пусть указанные в теореме
пределы при существуют,
тогда из второго равенства, по определению предела, имеем
, где при ,
т. е. 
. Значит, прямая - наклонная
асимптома при .
Такое же рассуждение и при 
.
Если 
, то асимптома называется горизонтальной.
З а м е ч а н и
е. Существование двух конечных пределов (1) существенно, ибо для функции
, 
, но 
, т. е. 
, и эта функция
асимптот не имеет.
Можно дать также следующее
эквивалентное определение наклонной асимптоты.
Если
расстояние 
от
точки 
непрерывной
кривой до
прямой 
стремится
к нулю при 
,
то данная прямая называется наклонной асимптотой этой кривой при .
В самом деле,
из аналитической геометрии известно, что расстояние от точки 
до прямой выражается формулой
,
откуда из того, что 
, следует, что 
, и наоборот.
П р и м е р 4. Выяснить,
имеются ли асимптоты у гиперболы
.
Разрешая данное уравнение
относительно 
,
будем иметь
.
Отсюда
.
Далее,
.
Таким образом, на основании
доказанной теоремы, прямые
являются асимптотами нашей
гиперболы, причем знак 
относится к правой верхней половине
гиперболы, а знак 
относится
к правой нижней половине гиперболы.
Рис. 62
В силу симметрии ясно, что эти
прямые являются асимптотами и при . В этом случае знак отвечает части
гиперболы, находящейся в третьей четверти, а знак 
относится к части гиперболы,
находящейся во второй четверти (рис. 62).
