5.2. Уравнения Лагранжа для диссипативных систем

В этом разделе мы выясним, возможно ли описать движение механической системы, на точки которой действуют силы сопротивления среды, обобщенными уравнениями Лагранжа вида (5.10), т. е. уравнениями

где — обобщенные силы сопротивления. Для этого рассмотрим так называемую диссипативную функцию Рэлея которая зависит от скоростей и из которой силы сопротивления получаются при помощи оператора градиента в пространстве скоростей:

так что обобщенные уравнения Лагранжа (5.11) в векторной форме записываются так:

Мощность сил сопротивления (скорость перехода механической энергии в теплоту) составляет

В качестве примера рассмотрим случай линейного анизотропного сопротивления, для которого диссипативная функция Рэлея имеет следующий вид:

При анизотропном сопротивлении положительные коэффициенты различны, т. е. величина силы сопротивления зависит от направления. В соответствии с равенством (5.12) дифференцированием находим силу сопротивления

отсюда ясно, что сопротивление линейно и анизотропно. Подставляя это выражение в формулу (5.14), получаем

Таким образом, диссипативная функция Рэлея Ф является мерой скорости перехода механической энергии в теплоту.

В случае линейного изотропного сопротивления все три коэффициента равны:

Для того чтобы установить связь между двумя видами обобщенных уравнений Лагранжа (5.11) и (5.13), используем в качестве отправного пункта соотношение

Вытекающее из равенства (5.4). Так как в формализме Лагранжа обобщенные Координаты и обобщенные скорости являются независимыми переменными, дифференцирование последнего соотношения дает

Заметим, что в рассматриваемом случае числом декартовых координат равяо числу обобщенных координат

Переход от уравнений (5.11) к уравнениям (5.13) осуществляется следующим образом: прежде всего по правилу дифференцирования сложной функции находим выражения

Подставляя эти выражения в уравнения (5.11) и учитывая равенство (5.20), получаем

Далее правилу дифференцирования сложной функции и в силу соотношения (5.19) имеем

так что

откуда