15. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ НЬЮТОНОВОЙ МЕХАНИКИ

Применим теперь развитую выше теорию к замкнутой системе, состоящей из материальных точек, при наличии внутренних сил. Будем исходить из бесконечно малой производящей функции, включающей все известные симметрии ньютоновой механики и отражающей глубокие познания, достигнутые длительным развитием физики. Эта функция выглядит так:

Здесь — бесконечно малые параметры ( скалярный, остальные векторные).

Согласно общей теории, нам потребуются частные производные от I по различным переменным; поэтому находим

Отсюда по формулам (13.5) общей теории вычисляем преобразованные переменные и преобразованную функцию Г амильтона:

Эти три равенства представляют собой формулы преобразования соответствующих величин, полученные при помощи бесконечно малой производящей функции.

Теперь выясним смысл бесконечно малых параметров и рассмотрим формулу преобразования, дающую переменную Мы видим, что

а определяет пространственный сдвиг,

определяет пространственный поворот,

определяет равномерное движение,

определяет временной сдвиг.

При преобразованиях Лоренца четырехмерного пространства - времени а и описывают пространственно - временной сдвиг, и — пространственно - временной поворот.

Установив эти предварительные результаты, исследуем функцию Гамильтона для замкнутой механической системы, состоящей из материальных точек. Между точками могут действовать потенциальные силы, которые зависят только от величины разности радиусов-векторов точек. Отсюда в силу консервативности системы следует, что

или

Теперь наша задача состоит в том, чтобы найти симметрии в этой функции Гамильтона, так как, согласно теории, каждая симметрия дает какой-либо закон сохранения (первый интеграл).

Как уже упоминалось, приведенная выше бесконечно малая производящая функция исчерпывает все симметрии функции Гамильтона. Следует также показать, что выполняется равенство

Для этого, по формуле (14.1) вычислим величину

В это выражение нужно подставить значения отмеченных чертой переменных. При возведении в квадрат следует иметь в виду, что малые второго порядка отбрасываются.

Вычислим

Далее находим

При дальнейшем упрощении учтем, что смешанное произведение векторов, в которое входят два равных сомножителя,

обращается в нуль, и тем самым получим

(справедливость преобразования подкоренного выражения можно проверить дифференцированием). Теперь разложим корень, входящий в аргумент функции в ряд Тейлора:

Затем разложим в ряд Тейлора самое функцию

Так как в сумму в правой части каждое слагаемое входит дважды, поставим перед знаком суммы множитель 1/2, чтобы не вводить ограничений при суммировании. В результате выражение принимает" вид

Поскольку

окончательно получаем

Теперь вычислим полную производную по времени от

Отсюда, в силу равенства (6.11), следует условие

Таким образом, наша бесконечно малая производящая функция является константой движения рассматриваемой механической системы. Выясним, что дает этот результат.

Поскольку параметры выбираются произвольно, можно фиксировать один из них, а остальные положить равными нулю. Поочередно фиксируя параметры, находим для каждого из них постоянную величину, являющуюся множителем при данном параметре в выражении (15.1). Рассмотрим получающиеся при этом выражения.

Из (15.1) вытекает равенство

так что

Таким образом, закон сохранения импульса получается из симметрии функции Гамильтона относительно пространственного сдвига. Поэтому в координатном пространстве все точки являются «равноправными» и ни одна точка не выделяется специально. Это свойство называется однородностью пространства.

В этом случае из (15.1) мы получаем

и поэтому

Закон сохранения энергии является следствием симметрии функции Гамильтона относительно временного сдвига. Поэтому ни один момент времени также не выделяется специально, что соответствует однородности времени.

При этих условиях мы находим из формулы (15.1), что

следовательно,

Соответственно этому закон сохранения момента импульса вытекает из симметрии функции Гамильтона относительно пространственного поворота. Это свойство называется изотропностью пространства.

Согласно формуле (15.1), мы устанавливаем, что

откуда имеем

Таким образом, равномерное прямолинейное движение центра масс следует из соответствующей симметрии функции Гамильтона. При этом в четырехмерном подходе речь идет о пространственно - временном повороте (лоренцевом повороте), что соответствует изотропности пространственно - временного континуума.

Законы сохранения импульса, момента импульса и скорости центра масс выражаются векторными равенствами, каждое из которых эквивалентно трем равенствам в компонентах, так что эти три закона сохранения в совокупности дают девять констант движения. Таким образом, при наличии всех вышеуказанных симметрий в механике существует десять констант движения (включая константу энергии).