19. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА

В этом разделе для теории поля будет выведен аналог механических уравнений Лагранжа. Как известно, в механике уравнения Лагранжа представляют собой уравнения движения системы. В теории поля уравнения Лагранжа также следует рассматривать как уравнения движения системы. Здесь они называются уравнениями поля.

Вычислим вариацию действия в принципе Гамильтона:

и изменим порядок выполнения операций варьирования и дифференцирования, что даст

или

В дальнейших преобразованиях мы используем теорему Гаусса — Остроградского для четырехмерного пространства. Напомним сначала векторную запись этой теоремы в трехмерном случае:

Поскольку векторная запись характерна для трехмерного пространства и неудобна для четырехмерного, перепишем эту теорему в индексной символике:

При этом тензорный элемент поверхности определяется следующим образом:

где — трехмерный тензор Леви-Чивиты, обладающий свойством абсолютной антисимметрии и такой, что

— трехмерный тензорный элемент внутренней ориентации, при некотором специальном выборе координат имеющий вид

В частности, отсюда следует, что

В четырехмерном пространстве теорема Гаусса — Остроградского доказывается так же, как и в трехмерном, и приводит к следующему аналогу формулы (19.3):

Трехмерный тензорный элемент гиперповерхности в четырехмерном пространстве при этом определяется так:

Здесь — четырехмерный тензор Леви-Чйвиты, снова абсолютно антисимметричный и обладающий тем свойством, что

абсолютно антисимметричный четырехмерный тензорный элемент внутренней ориентации. В формулу (19.8) было целесообразно ввести множитель по соображениям, связанным с числом измерений пространства.

Используем теорему Гаусса — Остроградского для преобразования второго слагаемого в равенстве (19.2) в интеграл по гиперповерхности:

Так как, согласно предположению (18.7), полевые функции фиксированы на границе четырехмерной области интегрирования, подынтегральная функция на гиперповерхности обращается в нуль и интеграл по гиперповерхности равен нулю. Поэтому вместо формулы (19.2) имеем

В силу произвольности выбора величин из равенства нулю интеграла следует равенство нулю подынтегральной функции. Тем самым мы получаем уравнения Лагранжа теории поля:

эти уравнения выражают тот факт, что вариационная производная плотности лагранжиана равна нулю. Их структура в основном соответствует структуре механических уравнений Лагранжа.

Поскольку мы исходили из инвариантного действия и проводили вычисления ковариантно, уравнения Лагранжа являются ковариантными. Следовательно, они удовлетворяют специальному принципу теории относительности и поэтому записываются одинаково в любой инерциальной системе отсчета.