8.4. Наглядное геометрическое представление действия

Из зависимости действия от координат и времени следует, что действие можно рассматривать как некоторое поле. Соответствующее геометрическое представление оказывается более наглядным в случае консервативной системы, и. поэтому мы займемся данным случаем. Краме того, ограничимся движением одной частицы, так что вместо полевой функции в -мерном конфигурационном пространстве мы будем иметь сумму полевой функции в трехмерном координатном пространстве и линейной функции времени:

Поверхность S = const, построенная для некоторого фиксированного значения времени, представляет собой поверхность постоянного действия в этом трехмерном пространстве. При изменении времени поверхность перемещается в соответствии с формулой (8.32). На рис. 6 показаны положения этой поверхности в различные моменты времени для двумерного случая. То же семейство поверхностей можно было бы получить иначе, а именно фиксировать время и рассматривать как параметр само действие

Рис. 6.

Хотя уравнение Гамильтона — Якоби не является волновым уравнением в его обычном виде, здесь имеют место некоторые признаки, типичные для распространения волн, и поэтому можно говорить о распространении так называемых волн действия.

В соответствии с нашей общей теорией получаем для импульса (обобщенный импульс может совпадать с обычным механическим) следующее выражение:

Поскольку импульсы перпендикулярны поверхности постоянного действия, траектории движения являются ортогональными траекториями для этих поверхностей. Заданное начальное состояние определяет траекторию дальнейшего движения частицы.

Сходство такого положения вещей с оптикой, изучение которой побудило Гамильтона разработать его теорию, очевидно.