16. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ В ТРЕХМЕРНОМ ФОРМАЛИЗМЕ

При больших скоростях движения механика Ньютона уже неверна и следует применять формулы специальной теории относительности, созданной А. Эйнштейном в 1905 г. Релятивистской механики системы материальных точек не существует, так как частицы высоких энергий вступают во взаимодействие, причем возникают процессы, выходящие за рамки механики (например, аннигиляция пар и излучение электромагнитных волн).

В релятивистской формулировке уравнение движения точки записывается так:

Это уравнение представляет собой обобщение уравнения движения Ньютона.

В релятивистской механике масса является не константой, а динамической величиной, зависящей от скорости:

Покажем, что на релятивистскую механику переносится вся теория Лагранжа — Гамильтона — Якоби в трехмерном формализме.

Определим действие аналогично предыдущему (см. выражение (8.1)):

Поскольку на функцию Лагранжа не накладывается никаких ограничений, принцип Гамильтона также получается в уже известном виде

Соответственно уравнение Лагранжа выглядит так:

Уравнение движения (16.1) может быть получено при помощи релятивистской функции Лагранжа

Разложение корня в ряд Тейлора дает

Если рассматривать только скорости, малые по сравнению со скоростью света то членами высших порядков можно пренебречь. Тогда с точностью до аддитивной константы, которая, как известно, не фигурирует в уравнениях движения, получается уже знакомая функция Лагранжа ньютоновой механики (4.24):

Покажем теперь, что эта релятивистская функция Лагранжа приводит к правильным уравнениям движения. Дифференцируя, находим

Введя массу движения (16.2), получаем

Подставляем это выражение в уравнение Лагранжа;

Сравнение с уравнением движения дает выражение силы

идентичное выражению (4.27).

Применим эту формулу к движению заряженной частицы в произвольном электромагнитном поле (пренебрегая квантовоэлектродинамическими эффектами) и выясним, получится ли для силы известное выражение

где Е — напряженность электрического поля, а В - напряженность магнитного поля.

В данном случае обобщенный потенциал выглядит так:

Подстановка этого потенциала в формулу (16.13) дает

Для того чтобы прийти к обычному выражению для силы, нужно несколько преобразовать этот результат. Простоты ради перейдем от векторной записи к компонентной. Здесь и далее строчные греческие буквы в индексах пробегают значения от 1 до 3. Согласна эйнштейновскому соглашению о

суммировании, предполагается суммирование по повторяющимся индексам. Мы находим

При этом мы учитывали, что в формализме Лагранжа координаты и скорости рассматриваются как независимые переменные. Дальнейшие преобразования дают

Принимая во внимание зависимости между напряженностями полей и потенциалами

или — в компонентной записи —

формулу (16.18) для можно представить в следующем виде:

Для остальных компонент проводятся те же выкладки с аналогичными результатами, совпадающими с компонентной записью формулы (16.14). Таким образом, в самом деле показано, что (16.15) представляет собой правильное выражение для обобщенного потенциала.

Следующим этапом является вычисление функции Гамильтона по функции Лагранжа; для этого используется формула (6.2):

Выполняющиеся и в данном случае канонические уравнения (6.9) — (6.11) в векторной записи выглядят так:

Подстановка выражения (16.6) в формулу (16.21) дает

Поскольку Н является функцией координаты и импульса, следует выразить через р. Однако целесообразно провести выкладки следующим образом: сначала выразить через и уже после этого перейти от к р.

По определению канонического импульса согласно формуле (6.4),

Подставляя это выражение в формулу (16.23), получаем

Таким образом, мы пришли к интересному результату, В релятивистской механике кинетической энергии соответствует величина Однако в функцию Лагранжа не входит это выражение, т. е. в релятивистской механике уже не имеет места соотношение

Теперь заменим в функции Гамильтона его выражением через для случая движения заряженной частицы в электромагнитном поле. Для этого подставляем в выражение (16.25) обобщенный потенциал (16.15) и находим

Отсюда следует, что

Далее, согласно формуле (16.24)

откуда

Разрешая это равенство относительно получаем

Дальнейшие преобразования дают

так что окончательно (16.27) записывается в следующем виде:

При подстановке в это равенство

как это делается при выводе уравнения Гамильтона — Якоби, получается уравнение Гамильтона — Якоби для релятивистской частицы в электромагнитном поле:

В дальнейшем мы принимаем, что строчные латинские буквы в индексах пробегают значения от 1 до 4 в соответствии с числом измерений пространственно - временного континуума. Соглашение о суммировании по повторяющимся индексам остается в силе.

В четырехмерной записи уравнение (16.34) значительно упрощается. Радиус-вектор имеет четыре компоненты

а 4-потенциал выглядит так:

В специальной теории относительности метрический тензор берется в виде

С учетом этих определений уравнение (16.34) принимает следующий вид:

Это — релятивистское уравнение Гамильтона — Якоби. Через него устанавливается связь с уравнением Клейна — Гордона квантовой механики, описывающим релятивистское движение частицы при отсутствии спина.