4, ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ

4.1. Принцип Гамильтона

4.1.1. ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

В то время как в обычной Теории максимума и минимума речь идет об определении экстремального значения некоторой функции, в основной задаче вариационного исчисления ставится вопрос о достижении экстремального значения определенным интегралом

В этом интеграле функция задана, но в рассматриваемом интервале «допускаются к соревнованию» любые кривые с фиксированными начальными и конечными точками.

Рис. 3.

Изменение этих кривых подчиняется условиям

и находятся выделенные на рис. 3 кривые так называемые экстремали, которые обеспечивают требуемое экстремальное свойство. Соответствующие искомой функции функции будем называть сравниваемыми функциями и положим

считая бесконечно малым параметром. В силу условий (4.2), произвольная в остальных отношениях функция должна удовлетворять равенствам

Величину

будем называть вариацией функции

Подставляя выражение (4.3) в формулу (4.1), получаем интеграл, зависящий от параметра а именно

По предположению, этот интеграл принимает экстремальное значение при и таким образом рассматриваемая вариационная задача сводится к задаче об обычном экстремуме. Теперь необходимое условие того, что достигает экстремума, записывается так:

Продифференцировав I по получим отсюда

В силу условия (4.4) последнее слагаемое обращается в нуль. Поскольку функция может быть выбрана произвольно, выражение в квадратных скобках должно тождественно обращаться в нуль, и мы приходим к вариационному дифференциальному уравнению Эйлера — Лагранжа:

Как правило, это уравнение является обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка для функции Величина

называется вариацией интеграла Она представляет собой линейный член в разложении интеграла в ряд Тейлора.

Для того чтобы установить характер экстремума (максимум или минимум), необходимо вычислить вариации высшего порядка.

Из определения вариации (4.5) следует, что

В силу равенства (4.3) мы имеем

и поэтому, согласно определению вариации,

Отсюда мы получаем равенство

означающее, что операции вычисления вариации и вычисления дифференциала перестановочны.

Рис. 4.

Поскольку время при варьировании не меняется, из последнего равенства вытекает соотношение

т. е. перестановочность варьирования и дифференцирования по времени.

Соотношение (4.14) наглядно представлено на рис. 4. Согласно этому рисунку,

Поскольку оператор варьирования линеен, имеет место равенство

Применяя это правило, мы приходим к равенству (4.14):

Последовательность вычислений, проведенную выше для одной искомой функции, нетрудно обобщить на случай нескольких функций . Повторим вкратце вывод уравнения Эйлера — Лагранжа иным, в известном смысле

более изящным методом без использования параметра е.

Вместо интеграла (4.1) будем теперь рассматривать интеграл

и .

Необходимым условием экстремума опять является равенство нулю вариации этого интеграла. На концах интервала интегрирования должны выполняться условия

Меняя последовательность выполнения операций варьирования и интегрирования, получаем

Используя соотношения

и интегрируя по частям, приходим к равенству

Проинтегрированные члены обращаются в нуль в силу условий (4.19). Выражения в круглых скобках под знаком интеграла также обращаются в нуль, что следует из произвольности выбора вариаций . В результате получается система дифференциальных уравнений второго порядка Эйлера — Лагранжа: