8.3. «Укороченное» уравнение Гамильтона — Якоби

Если мы имеем дело с консервативной механической системой, то функция Гамильтона не зависит явно от времени и уравнение Гамильтона — Якоби (8.14) переходит в уравнение

Зависимость от времени можно представить отдельным слагаемым:

где

так что из уравнения (8.25) получается «укороченное» урав-нение Гамильтона — Якоби

То обстоятельство, что входят в выражение (8.26) в виде разности, обусловлено независимостью Н от времени и следующей отсюда инвариантностью дифференциального уравнения относительно сдвига по времени.

Из уравнения (8.27) сразу становится ясным физический смысл постоянной интегрирования Е — она является энергией системы.

Теперь можно переписать соотношения (8.11) так:

Данные формулы получаются из (8.11) в предположении, что Е при дифференцировании остается постоянной. Об этом надо упомянуть потому, что Е не входит в число постоянных, от которых зависит функция (8.6).

Найдя полный интеграл уравнения (8.27), мы приходим к следующей структуре укороченного действия

При подстановке этого выражения в уравнение (8.27) получается энергия Е как функция от параметров:

Для простых физических задач иногда удается частично или даже полностью разделить переменные (координаты) в уравнении Гамильтона — Якоби (8.27). В том случае, когда переменные полностью разделяются, функция принимает вид