9.3. Инвариантность коммутационных соотношений при канонических преобразованиях

Выше (см. формулы (7.10) - (7.12)) мы встретились с интересными соотношениями, связывающими канонические переменные и напоминающими коммутационные соотношения Гейзенберга в квантовой механике. Эти три равенства и в рамках, классической механики мы для краткости будем называть коммутационными соотношениями. Ниже мы покажем, что при канонических преобразованиях эти соотношения сохраняют свой вид. Для этого нам прежде всего потребуются четыре вспомогательные формулы.

В силу теоремы Шварца о равенстве смешанных производных, из (9.17), (9.20), (9.23) и (9.26) вытекают следующие соотношения:

Подставляя эти важные результаты в равенство, определяющее скобки Пуассона, получаем

Частные производные в первых двух равенствах обращаются в нуль, так как одна из независимых переменных дифференцируется по другой. Таким образом, наше утверждение доказано. Это — еще одно фундаментальное свойство канонических преобразований.