26. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ К СИСТЕМЕ МАКСВЕЛЛОВСКОГО И ДИРАКОВСКОГО ПОЛЕЙ

Обозначим через дираковский биспинор, описывающий дираковское поле, через — эрмитово сопряженный биспинор, а через

— сопряженный биспинор. Используя матрицы Дирака удовлетворяющие соотношению

плотность лагранжиана можно записать в следующем виде:

При выборе представления матриц Дирака мы придерживаемся обозначений цитированной выше монографии (Шмутцер [1]).

Учитывая коммутационное соотношение

связывающее можно показать, что плотность лагранжиана вещественна:

Дифференцируя, получаем соотношения

Введя для сокращения записи дираковский 4-вектор плотности тока

получаем

Кроме того, имеют место те же формулы, что и в предыдущем разделе, а именно

Между канонически сопряженными переменными дираковского поля имеет место следующее соответствие:

Таким образом, полевые функции и функции импульсов не являются взаимно независимыми величинами — ситуация

такая же, что и для шредингеровского поля. Уравнение Лагранжа (19.12) включает здесь три уравнения:

В силу соотношения (26.15) сразу становится ясно, что последнее уравнение и здесь воспроизводит систему неоднородных уравнений Максвелла.

Подставляя выражения (26.9) в уравнение (26.22), получаем известное уравнение Дирака

при этом уравнение (26.21) переходит в уравнение Дирака для сопряженной функции

При подстановке этих уравнений поля в плотность лагранжиана слагаемое, обусловленное дираковским полем, тождественно обращается в нуль, так что из выражения (26.3) имеем

Теперь вычислим плотность гамильтониана по формуле (20.5):

Для того чтобы придать этому выражению надлежащую структуру, исключим частные производные по времени при помощи уравнений Дирака и получим сначала

а затем, приняв во внимание соотношения (26.12) и (26.13),

Это уравнение является аналогом уравнения (24.11) теории Шредингера. Замечания, сделанные по поводу уравнения (24.11), остаются в силе и здесь.

Из-за зависимости между полевыми функциями и функциями импульсов уравнения Гамильтона для дираковского поля должны выглядеть следующим образом:

При этом плотность гамильтониана нужно представить в симметричной форме

симметричность такой записи сразу усматривается из соотношений вида

Дифференцируя, находим

Подставим теперь эти выражения в уравнения Гамильтона (26.30) и (26.31). При этом первое из них запишется так:

а второе так:

Несложными преобразованиями доказывается, что эти уравнения Гамильтона идентичны уравнениям Дирака (26.24) и (26.25).

Для электромагнитных величин можно получить уравнения Гамильтона в виде уравнений (25.40) — (25.43). При этом ничего нового не получается; надо только учесть, что 4-вектор плотности тока теперь имеет компоненты

Так же, как и в предыдущем разделе, исследуем и здесь симметрии поля. В силу инвариантности плотности лагранжиана (26.3) при неоднородных преобразованиях Лоренца снова выполняются закон сохранения энергии - импульса (22.78) (соответственно (22.89)) и закон сохранения момента импульса и скорости центра масс (22.83) (соответственно (22.91)). Вычислим тензор энергии - импульса, являющийся при этом ключевой величиной.

Для канонического тензора энергии - импульса (22.66) имеем

Подставив в это выражение значения (26.8) и (26.9) для соответственно, получим

Для спинорных полей нахождение симметричного тензора энергии - импульса, получающегося из эйнштейновских уравнений доля, связано с довольно громоздкими вычислениями; это подробно обсуждается в нашей монографии (Шмутцер [1]).

Поэтому мы приведем здесь лишь окончательный результат вычисления симметричного тензора энергии - импульса, а именно

При этом электромагнитная часть тензора определяется формулой (25.59).

Отсюда для плотности энергии получается следующее выражение:

Вычитая это выражение из выражения (26.27) для плотности гамильтониана, приходим к результату

т. е. к тому же результату, что и для поля Максвелла — Клейна-Гордона. Следовательно, и для поля Максвелла — Дирака функция Гамильтона и энергия системы, как правило, равны.

Поле Максвелла — Дирака также обладает калибровочной симметрией, т. е. плотность лагранжиана инвариантна относительно калибровочных преобразований

( — вещественная калибровочная функция). Для бесконечно малой имеем

или

Применительно к этому случаю дифференциальный закон сохранения (22.69) в силу равенства принимает вид

Подставляя сюда выражения (26.8), (26.9), (26.16) и (26.53), с учетом равенства (26.14) получаем

Таким образом, и в этом случае закон сохранения заряда является следствием калибровочной инвариантности.