6. УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА

6.1. Вывод уравнений Гамильтона при помощи преобразования Лежандра

В формализме Лагранжа в качестве основной функции используется функция Лагранжа а в качестве независимых переменных — обобщенные координаты и обобщенные скорости Время играет роль параметра.

В формализме Гамильтона основной функцией является функция Гамильтона (гамильтониан) Н, а независимыми

ременными — обобщенные координаты и пока еще не введенные нами в рассмотрение обобщенные импульсы Здесь время тоже рассматривается как параметр.

Переход от формализма Лагранжа, в котором уже учтено наличие наложенных на систему связей (число степеней свободы равно к формализму Гамильтона

осуществляется при помощи преобразования Лежандра, а именно преобразования

Преобразования Лежандра, при которых наряду с независимыми переменными преобразуются и зависимые переменные, принадлежат к обширному классу так называемых контактных (касательных) преобразований. Они выходят за рамки обычных точечных преобразований (например, декартовых координат в полярные). Соотношение (6.2) является aequatio directrix (определяющим уравнением) вышеупомянутого преобразования Лежандра. В силу (6.2) имеем

По определению, функция Гамильтона Н не должна зависеть от к- Мы достигнем этого, определив обобщенные импульсы следующим образом:

Таким образом получаем

Подстановка величин (6.4) в уравнения (5.2) дает

так что (6.5) можно записать как

Образуем далее полный дифференциал функции Я

Приравнивая коэффициенты при дифференциалах независимых переменных в выражениях (6.7) и (6.8), приходим к каноническим дифференциальным уравнениям Гамильтона:

Эта система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка описывает движение данной механической системы. С математической точки зрения она равноценна системе уравнений Лагранжа, которые, как известно, являются обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка.

Обобщенные координаты и обобщенные импульсы, фигу-, рирующие в канонических уравнениях Гамильтона, называются в совокупности канонически сопряженными переменными.

Из равенства (6.7) вытекает еще одно важное соотношение, а именно

При помощи уравнений Гамильтона получаем из (6.8) равенство

Будем называть консервативной механической системой такую систему, для которой функция Лагранжа не зависит явно от времени, т. е.

Тогда в силу (6,10) мы получаем также

так что, согласно (6.11),

Постоянную величину Е будем называть энергией консервативной системы.

Так введенное понятие энергии совпадает с обычным понятием механической энергии консервативной системы. Для консервативной системы потенциал не зависит от скорости (и представляет собой потенциальную энергию). Тогда вместо равенства (4.24) имеет место равенство

так что вместо (6.4) можно положить

В силу этих соотношений выражение (6.2) принимает вид

Кинетическая энергия Т представляет собой квадратичную форму от скоростей

(коэффициенты для нас несущественны). Поскольку Т — однородная функция второго порядка, согласно теореме Эйлера об однородных функциях имеет место равенство

в силу которого из (6.17) следует

что и доказывает наше утверждение.

Может оказаться, что в число аргументов функции Гамильтона не входит некоторая обобщенная координата . Эта координата называется циклической переменной (происхождение этого названия связано с исследованием вращательного движения). Важность такой координаты обусловливается тем, что в силу уравнений Гамильтона (6.9) обобщенный

импульс, соответствующий циклической координате, ляется константой движения: