11. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И УСЛОВНО ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ

11.1. Периодическая система с одной степенью свободы

Либрация. В этом случае координата и импульс являются периодическими функциями времени с одинаковым периодом

Рис. 7.

Примерами либрации могут служить движения линейного гармонического осциллятора и математического маятника при отсутствии трения.

Вследствие периодичности и движение в двумерном фазовом пространстве (фазовой плоскости) происходит по некоторой замкнутой кривой. Эта так называемая фазовая траектория изображена на рис. 7.

Разложение в ряд Фурье дает

где частота основного колебания, а у — фазовая постоянная. Используя переменную

меняющуюся на единицу за период, можно отразить периодичность координаты следующей записью;

Тогда разложение в ряд Фурье для этой координаты прини мает вид

Вращение. Выбираемую при движении такого вида координату, которую мы обозначим через можно рассматривать как угол, в процессе движения возрастающий со временем. Однако, хотя периодичность по времени не предполагается, через известное время система возвращается в свое начальное положение. За это время координата меняется на единицу:

В противоположность этому импульс представляет собой периодическую функцию координаты до:

или в силу равенства -периодическую функцию времени:

Этот случай представлен на рис. 8.

Примерами движений. такого вида являются различные случаи вращения тела вокруг неподвижной оси. Для того чтобы нормировать период так, как это было сделано выше, между координатой и углом поворота вокруг оси вращения нужно установить следующую зависимость:

Рис. 8.

Если для описания движения использовать ортогональные декартовы координаты означает здесь то координата и импульс окажутся периодическими функциями времени, так что и в этом случае остается в силе равенство (11.4):