11.3. Переменные действие — угол

Осуществим случай С канонического преобразования, т. е. применим формулы преобразования (9.23):

При помощи такого преобразования уравнения Гамильтона в новых канонических переменных примут вид

Функция относительно которой ранее не делалось никаких предположений, теперь выбирается так, чтобы новая функция Гамильтона зависела лишь от новых импульсов:

При этом из вторых уравнений Гамильтона следует, что

и поэтому из первых интегрированием получаются равенства

где — постоянные; тогда

Выше мы назвали координаты, не входящие в функцию Гамильтона, циклическими переменными. Таким образом, циклическая переменная линейно растет со временем. Если циклическая переменная обладает, в частности, тем свойством, что за период она возрастает на единицу, то ее называют

угловой переменной. Поэтому в соответствии с уже использованным в формулах (11.3) и (11.6) обозначением примем для нее символ Умножив равенство (11.20) на некоторую постоянную X, можно перейти от координаты к соответствующей угловой переменной

где

Импульс, канонически сопряженный угловой переменной называется переменной действия и обозначается через так что соотношения (11.21) можно переписать в следующем виде:

где

Поскольку, в силу условий (11.15) и (11.18), левая часть третьей из формул (11.16) не зависит явно от времени, функция может быть самое большее линейной функцией времени. Без ограничения общности полагаем

Таким образом, из (11.16) следуют формулы преобразования:

Последняя из них представляет собой укороченное уравнение Гамильтона — Якоби, а вторая устанавливает тождество

(W — укороченное действие). Поэтому формулы (11.27) можно записать так: