22.6. Преобразования симметрии

В механике под преобразованием симметрии мы понимали преобразование, определяемое бесконечно малой производящей функцией, не зависящей от времени в силу определения (14.7), и гарантирующее инвариантность формы функции Гамильтона. В теории поля на первый план вместо формализма Гамильтона выдвигается формализм Лагранжа, поскольку именно он обеспечивает релятивистскую ковариантность. Поэтому здесь при определении преобразования симметрии исходят из плотности лагранжиана и сообразно этому требуют

инвариантности формы плотности (относительно функциональных вариаций и вариаций координат) лагранжиана с точностью до некоторого дивергенциального слагаемого. Следовательно, преобразование симметрии определяется теперь равенством

т. е. равенством

где — тензор первого ранга, обладающий следующей функциональной структурой:

Взяв интеграл от равенства (22.62) по четырехмерному объему и применив четырехмерный аналог теоремы Гаусса — Остроградского, получим

Поскольку четырехмерный элемент объема является инвариантом, в левой части можно заменить на

Возьмем функциональную вариацию от этого равенства и потребуем, чтобы для исходной системы («системы без штрихов») был справедлив принцип Гамильтона. Тогда он будет справедлив и для системы, полученной в результате преобразования симметрии («системы со штрихами»), поскольку вариация интеграла по гиперповерхности обращается в нуль. Таким образом, мы имеем

Отсюда следует, что и для «системы со штрихами» выполняются уравнения Лагранжа

Введем теперь одно важное понятие, а именно понятие канонического тензора энергии - импульса

Он построен по образцу механической функции Гамильтона

отсюда и прилагательное «канонический».

Для преобразований симметрии из равенства (22.58) вытекает соотношение

которое следует рассматривать как математическую формулировку теоремы Нётер для плотности лагранжиана первого порядка. Структуру этого соотношения мы рассмотрим ниже.

Теорема Нётер в данной форме является так называемым слабым законом сохранения. Лишь при выполнении уравнений поля получается закон сохранения в виде четырехмерного уравнения непрерывности.

В отличие от слабого закона сохранения сильный закон сохранения представляет собой тождественно выполняющееся равенство, справедливое независимо от того, имеют ли место уравнения поля