8. ТЕОРИЯ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОБИ

8.1. Уравнение Гамильтона — Якоби

До сих пор мы сталкивались с законами движения классической механики, представленными в форме обыкновенных дифференциальных уравнений, а также дифференциальных и интегральных принципов. В настоящем разделе мы изучим запись тех же законов классической механики в виде нелинейного дифференциального уравнения первого порядка в частных производных, а именно познакомимся с уравнением Гамильтона — Якоби. Впервые вывел это уравнение У. Р. Гамильтон (1827 г., дополнения в 1830 и 1832 гг.), побуждаемый прежде всего важным для астрономии изучением хода светового луча в оптических инструментах. Исследования К. Якоби, связанные с каноническими преобразованиями, развили эту теорию и обогатили ее.

Теория Гамильтона — Якоби имеет огромное значение для понимания развития физики, а именно перехода от классической к квантовой механике. Этот переход в известном смысле представляет собой параллель развития электромагнитной теории света.

Как известно, конец спору между корпускулярной теорией Ньютона и волновой теорией Гюйгенса положила лишь современная квантовая электродинамика на основе корпускулярно - волнового дуализма. В механике в этом отношении сложилась иная обстановка, поскольку корпускулярное представление о частице (материальной точке) столетиями никем не оспаривалось и вызвало сомнения лишь в самом конце прошлого века в связи с противоречиями в истолковании явлений, происходящих в атоме. Л. де Бройлю (1924 г.) принадлежит идея наделить классическую частицу волновыми свойствами, распространив на нее корпускулярно - волновой дуализм (соотношения де Бройля).

Э. Шредингер продолжил эту идею и в 1926 г. разработал волновую механику, оказавшуюся эквивалентной матричной механике, начало которой положил В. Гейзенберг (1925 г.). Волновая механика и матричная механика представляют

собой математически эквивалентные формулировки квантовой механики.

В какой мере в теории Гамильтона — Якоби уже намечена квантовая механика? На этот вопрос мы ответим по ходу изложения данной теории. Для этого будем исходить из определения (4.34) действия причем функцию Лагранжа запишем в обобщенных координатах:

При этом постоянная интегрирования выбирается так, что

Как известно, задача состоит в том, чтобы проинтегрировать уравнения движения Ньютона, определив из них координаты в следующем виде:

Это — параметрическое представление траекторий частиц. Входящие сюда постоянные интегрирования и суть начальные значения координат и скоростей частиц соответственно.

Начальный момент времени — несущественный с физической точки зрения параметр. Поскольку в ньютоновой механике не выделяется какой-либо момент времени, речь идет просто о некотором соглашении для начала отсчета времени.

Дифференцированием выражений (8.2) получаем параметрическое представление скоростей:

Допустим теперь, что мы решили таким образом предложенную задачу и нашли функции (8.2) и (8.3). Далее подставим эти выражения в функцию Лагранжа в соотношении (8.1) и выполним интегрирование по времени. Это даст нам следующую структуру действия:

Следующий шаг состоит в том, чтобы разрешить систему равенств (8.2) относительно начальных скоростей. При этом мы приходим к системе

Теперь подставляем эти выражения в функцию что дает

где

Проведенные выше рассуждения позволяют сделать некоторые важные выводы.

Полная производная по времени от интеграла (8.1) равна результату подстановки верхнего предела в подынтегральную функцию:

Далее подставим в подынтегральную функцию интеграла (8.1) выражение функции Лагранжа через функцию Гамильтона, полученное из соотношения (6.2):

Знак суммы можно вынести за знак интеграла. Кроме того, положим и соответственно изменим пределы интегрирования:

Поскольку отсюда следует равенство

которое снова подтверждает структуру (8.6) действия. Из равенства (8.10) следует, что

и

а также что

Перепишем еще раз последнее равенство, указав в нем аргументы функции Н (за исключением постоянных интегрирования) и приняв во внимание соотношения (8.11):

Полученное таким образом уравнение является искомым уравнением Гамильтона — Якоби в частных производных для

действия Поскольку функция Гамильтона квадратична относительно импульсов, оно представляет собой нелинейно уравнение первого порядка в частных производных. С физической точки зрения это уравнение эквивалентно закону движения Ньютона.

В начале этого раздела мы указывали, что теория Гамильтона — Якоби по существу связана с волновой механикой. Поэтому в заключение отметим, что уравнение Гамильтона — Якоби (8.14) получается из волнового уравнения Шредингера

представляющего собой линейное уравнение второго порядка в частных производных относительно волновой функции предельным переходом При этом комплекснозначная волновая функция вещественнозначная функция действия и вещественнозначная амплитудная функция связаны соотношением

Этот раздел мы закончим тем, что вновь обратимся к соотношениям (8.12). Они образуют систему из уравнений, связывающих величины Если ее разрешить относительно координат получится новая система уравнений

которая отличается от системы (8.2) тем, что вместо начальных скоростей в нее входят начальные импульсы Поэтому можно утверждать, что уравнения (8.12) воспроизводят траектории. Таким образом, мы находим траектории через действие, которое получается решением уравнения Гамильтона — Якоби (8.14). Разумеется, это решение не получается автоматически в виде функции заданной структуры (8.6), а без предположения такой структуры нельзя получить соотношения (8.12). В дальнейшем мы еще будем подробно обсуждать весь этот круг вопросов.