Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
4.1.2. ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНАНастоящий раздел будет посвящен интегральному принципу, установленному Гамильтоном (1834 г.) и эквивалентт ному уравнениям движения механической системы. В этом принципе заложен весьма глубокий смысл. Его значение становится полностью ясным при соответственно обобщенной его формулировке в теории поля. В качестве отправной точки возьмем уравнение (3.3) и проинтегрируем его по времени от
Проведем преобразование
и используем выражение (3.12) для кинетической энергии системы. Это даст равенство
Полагая, как делается в вариационном исчислении,
получаем
Введем в рассмотрение функцию
имеющую размерность энергии, и назовем ее функцией Лагранжа (или лагранжианом). Если функция Уравнение (4,23) принимает теперь вид
Вводя понятие вариационной производной, определяемой для функции
и принимая во внимание условия (4.22), предыдущее уравнение можно записать так:
Положим теперь, что активные силы
(в частном случае, когда функция
Это — запись принципа Гамильтона для системы с произвольными связями. Для системы с голономными связями в силу соотношений (2.7) имеем
или
При отсутствии связей принцип Гамильтона записывается еще проще:
Применяя формулы (4.20) вариационного исчисления к принципу Гамильтона в виде (4.28), получаем уравнения Лагранжа для системы с произвольными связями.
которые для системы с голономными связями принимают вид
При отсутствии связей уравнения Лагранжа упрощаются:
Уравнения Лагранжа (4.31) представляют собой не что иное, как уравнения Лагранжа первого рода ((1.2а) или (3.4)), записанные через функцию Лагранжа Определяя действие (по Гамильтону) как
при отсутствии связей приходим к следующей формулировке принципа Гамильтона: движение механической системы в интервале между двумя заданными моментами времени происходит так, что в этом интервале действие имеет экстремальное (не обязательно минимальное) значение. Принцип Гамильтона, будучи интегральным, Позволяет глубже проникнуть в существо процессов движения, чем ньютонова формулировка основных законов механики. Запись законов природы в виде дифференциальных уравнений непосредственно учитывает наши представления о причинности, ибо при этом процесс развивается из некоторого начального состояния. В полном отличии от этого в принципе Гамильтона речь идет о конечном интервале, времени, когда одинаково принимается во внимание и прошлое, и будущее. Поэтому в литературе встречаются высказывания в стиле автора этого принципа — наподобие следующего: для того чтобы достичь своей цели, природа из всех мыслимых движений выбирает те, которые «соответствуют экстремальному действию.
|
1 |
Оглавление
|