Главная > Основные принципы классической механики и классической теории поля
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

4.1.2. ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА

Настоящий раздел будет посвящен интегральному принципу, установленному Гамильтоном (1834 г.) и эквивалентт ному уравнениям движения механической системы. В этом принципе заложен весьма глубокий смысл. Его значение

становится полностью ясным при соответственно обобщенной его формулировке в теории поля.

В качестве отправной точки возьмем уравнение (3.3) и проинтегрируем его по времени от до

Проведем преобразование

и используем выражение (3.12) для кинетической энергии системы. Это даст равенство

Полагая, как делается в вариационном исчислении,

получаем

Введем в рассмотрение функцию

имеющую размерность энергии, и назовем ее функцией Лагранжа (или лагранжианом). Если функция зависит от скоростей, то мы будем называть ее обобщенным потенциалом 2). Если такая зависимость не имеет места, то будет тождественно совпадать с потенциальной энергией системы (в остальном следует строго различать понятия обобщенного потенциала и потенциальной энергии).

Уравнение (4,23) принимает теперь вид

Вводя понятие вариационной производной, определяемой для функции как

и принимая во внимание условия (4.22), предыдущее уравнение можно записать так:

Положим теперь, что активные силы и обобщенный потенциал связаны соотношениями

(в частном случае, когда функция не зависит от скоростей, это — известные формулы связи между силами и потенциальной энергией). При этом уравнение (4.26) будет выглядеть так:

Это — запись принципа Гамильтона для системы с произвольными связями.

Для системы с голономными связями в силу соотношений (2.7) имеем

или

При отсутствии связей принцип Гамильтона записывается еще проще:

Применяя формулы (4.20) вариационного исчисления к принципу Гамильтона в виде (4.28), получаем уравнения Лагранжа для системы с произвольными связями.

которые для системы с голономными связями принимают вид

При отсутствии связей уравнения Лагранжа упрощаются:

Уравнения Лагранжа (4.31) представляют собой не что иное, как уравнения Лагранжа первого рода ((1.2а) или (3.4)), записанные через функцию Лагранжа

Определяя действие (по Гамильтону) как

при отсутствии связей приходим к следующей формулировке принципа Гамильтона: движение механической системы в интервале между двумя заданными моментами времени происходит так, что в этом интервале действие имеет экстремальное (не обязательно минимальное) значение. Принцип Гамильтона, будучи интегральным, Позволяет глубже проникнуть в существо процессов движения, чем ньютонова формулировка основных законов механики.

Запись законов природы в виде дифференциальных уравнений непосредственно учитывает наши представления о причинности, ибо при этом процесс развивается из некоторого начального состояния. В полном отличии от этого в принципе Гамильтона речь идет о конечном интервале, времени, когда одинаково принимается во внимание и прошлое, и будущее. Поэтому в литературе встречаются высказывания в стиле автора этого принципа — наподобие следующего: для того чтобы достичь своей цели, природа из всех мыслимых движений выбирает те, которые «соответствуют экстремальному действию.

1
Оглавление
email@scask.ru