4.1.2. ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА

Настоящий раздел будет посвящен интегральному принципу, установленному Гамильтоном (1834 г.) и эквивалентт ному уравнениям движения механической системы. В этом принципе заложен весьма глубокий смысл. Его значение

становится полностью ясным при соответственно обобщенной его формулировке в теории поля.

В качестве отправной точки возьмем уравнение (3.3) и проинтегрируем его по времени от до

Проведем преобразование

и используем выражение (3.12) для кинетической энергии системы. Это даст равенство

Полагая, как делается в вариационном исчислении,

получаем

Введем в рассмотрение функцию

имеющую размерность энергии, и назовем ее функцией Лагранжа (или лагранжианом). Если функция зависит от скоростей, то мы будем называть ее обобщенным потенциалом 2). Если такая зависимость не имеет места, то будет тождественно совпадать с потенциальной энергией системы (в остальном следует строго различать понятия обобщенного потенциала и потенциальной энергии).

Уравнение (4,23) принимает теперь вид

Вводя понятие вариационной производной, определяемой для функции как

и принимая во внимание условия (4.22), предыдущее уравнение можно записать так:

Положим теперь, что активные силы и обобщенный потенциал связаны соотношениями

(в частном случае, когда функция не зависит от скоростей, это — известные формулы связи между силами и потенциальной энергией). При этом уравнение (4.26) будет выглядеть так:

Это — запись принципа Гамильтона для системы с произвольными связями.

Для системы с голономными связями в силу соотношений (2.7) имеем

или

При отсутствии связей принцип Гамильтона записывается еще проще:

Применяя формулы (4.20) вариационного исчисления к принципу Гамильтона в виде (4.28), получаем уравнения Лагранжа для системы с произвольными связями.

которые для системы с голономными связями принимают вид

При отсутствии связей уравнения Лагранжа упрощаются:

Уравнения Лагранжа (4.31) представляют собой не что иное, как уравнения Лагранжа первого рода ((1.2а) или (3.4)), записанные через функцию Лагранжа

Определяя действие (по Гамильтону) как

при отсутствии связей приходим к следующей формулировке принципа Гамильтона: движение механической системы в интервале между двумя заданными моментами времени происходит так, что в этом интервале действие имеет экстремальное (не обязательно минимальное) значение. Принцип Гамильтона, будучи интегральным, Позволяет глубже проникнуть в существо процессов движения, чем ньютонова формулировка основных законов механики.

Запись законов природы в виде дифференциальных уравнений непосредственно учитывает наши представления о причинности, ибо при этом процесс развивается из некоторого начального состояния. В полном отличии от этого в принципе Гамильтона речь идет о конечном интервале, времени, когда одинаково принимается во внимание и прошлое, и будущее. Поэтому в литературе встречаются высказывания в стиле автора этого принципа — наподобие следующего: для того чтобы достичь своей цели, природа из всех мыслимых движений выбирает те, которые «соответствуют экстремальному действию.