12. ТРАЕКТОРИИ КАК ХАРАКТЕРИСТИКИ УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ

В настоящем разделе мы более подробно ознакомимся с математическими аспектами теории Гамильтона — Якоби. При этом мы будем опираться на детально разработанную теорию уравнений в частных производных первого порядка. Как известно, характеристиками такого дифференциального уравнения являются специально выделенные сингулярные кривые. В дальнейшем изложении будет показано, что характеристики уравнения Гамильтона — Якоби соответствуют траекториям материальной точки.

Вернемся к разд. 8.2, где было дано определение полного интеграла уравнения в частных производных первого порядка с независимыми переменными и принято для этого интеграла обозначение

Общим интегралом уравнения в частных производных первого порядка с независимыми переменными называется решение этого уравнения, содержащее некоторую произвольную функцию от переменных. Общий интеграл можно найти из полного интеграла следующим образом.

Предположим, что

где — произвольная функция от переменных; тогда полный интеграл (12.1) переходит в функцию

Функция очевидно, также является решением нашего дифференциального уравнения.

Функции (12.1) образуют -параметрическое семейство решений. При предположении (12.2) отсюда получается -параметрическое семейство решений (12.3). При дифференцировании (12.3) по параметрам (как это делается при построении огибающей) получается система

состоящая из уравнений. Разрешая эту систему относительно величин находим

В эти зависимости входит произвольная функция Результатом подстановки выражений (12.5) в формулу (12.3) является общий интеграл

Особый интеграл уравнения в частных производных первого порядка также получается при помощи построения огибающей. Из (12.1) можно вывести систему

состоящую из уравнений. Разрешая эту систему относительно величин приходим к соотношениям

Подстановка этих выражений в (12.1) дает функцию

Если эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению, то она называется особым интегралом. Она описывает общую огибающую всех интегральных поверхностей, входящих § полный интеграл,

Рассмотрим теперь -мерное пространство переменных , в котором решение дифференциального уравнения, записанное в неявном виде

представляется гиперповерхностью. При этом измерение соответствует зависимой переменной а.

Пусть в этом пространстве параметрически задана некоторая кривая

параметр кривой). Поскольку градиент определяет направление нормали к гиперповерхности, каждой фиксированной точке кривой (12.11) можно поставить в соответствие образованный направлениями нормалей конус направлений (конус нормалей); это возможно в силу соотношений

вытекающих из дифференциального уравнения (12.10). При этом в частном случае речь идет о двумерной конической поверхности.

В той же фиксированной точке кривой элементы интегральных поверхностей, перпендикулярные направлениям нормалей, также огибают конус, который называется конусом Монжа (элементарным конусом).

При продвижении вдоль заданной кривой элементы интегральной поверхности образуют полосу; продолжая такую полосу, по ней в нормальном случае можно построить интегральную гиперповерхность (задача Коши). Это осуществляется разложением в степенной ряд функции Для построения полосы используется соотношение

выполняющееся вдоль кривой (12.11) и получающееся дифференцированием уравнения (12.10).

Характеристиками дифференциального уравнения первого порядка являются такие кривые, для которых однозначное Ьродолжение, т. е. однозначное построение интегральной гиперповерхности, невозможно. Таким образом, характеристики представляют собой сингулярные кривые., которым соответствует бесчисленное множество интегральных поверхностей.

Характеристики уравнения в частных производных (8.17) можно описать следующей системой уравнений:

Эти уравнения мы применим к уравнению Гамильтона — Якоби, для которого функция определяется формулой (8.21) и выполняются соотношения (8.19) и (8.20). Выпишем еще раз эти результаты:

Из того что не зависит явно от следует равенство

Таким образом, из системы уравнений (12.14)-(12.16) с учетом равенств получаются соотношения

Из второго уравнения (12.21) можно без ограничения общности заключить, что

т. е. выбрать в качестве параметра кривой время При этом уравнения (12.20) — (12.22) запишутся в следующем виде:

Здесь мы сразу узнаем систему уравнений, в формализме Гамильтона описывающих траектории материальной точки. Тем самым утверждение, что траектории являются характеристиками уравнения Гамильтона — Якоби, доказано.

Следующие ниже соображения приводят к геометрической интерпретации теоремы Якоби о нахождении траекторий из полного интеграла уравнения Гамильтона — Якоби. Будем исходить из соотношения (8.23), которое запишем теперь так:

Согласно предыдущему изложению, это уравнение представляет гиперповерхность в -мерном пространстве переменных и 5 (как уже было указано выше, — несущественный параметр). Из-за наличия независимых параметров эта гиперповерхность является -параметрическим семейством гиперповерхностей, причем аддитивно входящий параметр вызывает только сдвиг вдоль оси Построение огибающих семейства (12.26) приводит к уравнениям

т. е. к противоречию во втором уравнении. Таким образом, относительно параметра (вследствие обусловленного им сдвига) огибающей не существует. Из теоремы Якоби (9.47), запись которой в силу соотношения (8.23) можно представить в виде

следует, что определяемые уравнениями (12.27) сингулярные кривые в общем случае не являются траекториями.

Если, однако, уменьшить число параметров на единицу и взять их не принимая, например, что

то равенство (12.26) запишется так:

Построив теперь огибающие относительно параметров т. е. положив

мы получаем неоднородную систему уравнений

для величин Надлежащим выбором функций можно добиться того, что определитель из коэффициентов при этих величинах будет отличен от нуля:

и тогда существует решение

Отождествив величины с произвольно выбираемыми величинами мы приходим к утверждению (12.28) теоремы Якоби и тем самым показываем, что траектории (соответственно характеристики) являются огибающими -параметрического семейства поверхностей (12.31).