23. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ К НЬЮТОНОВОЙ МЕХАНИКЕ

Хотя законы сохранения ньютоновой механики уже обсуждались в плане формализма Гамильтона, поучительно показать, каким образрм эти законы можно включить в теорию Нётер, основанную на формализме Лагранжа.

Теория Нётер была развита выше применительно к теории поля. Покажем, однако, что эта теория применима и к ньютоновой механике, в которой функция Лагранжа задается формулой (4.24):

Прежде чем устанавливать связи с теорией Нётер, распространим на формализм Лагранжа теорию бесконечно малых канонических преобразований, изложенную в разд. 13 и 14. При этом, как и ранее, будем исходить из бесконечно малого канонического преобразования, описываемого формулами (13.6), которые в векторной записи выглядят так:

Поскольку в формализме Лагранжа используются переменные имеет смысл положить

Эта формальная запись станет содержательной лишь при точном выяснении смысла величины Вернемся к системе материальных точек, рассмотренной в разд. 15, и заметим, что продифференцировав выражение (15.5) по времени и сравнив результат с выражением (15.6), мы придем к равенству

из которого следует равенство

При каноническом преобразовании требуется, чтобы сохранялась связь

откуда находим

Соотношения (13.7) можно также представить в векторной форме

Подставив эти значения в выражение (23.7), получим

Согласно последнему из равенств (23.3), тем самым находится и

По аналогии с величиной (14.1) определим величину

Разложение в ряд Тейлора дает

Учитывая зависимость (23.6), выражению (23.10) можно придать вид

Из сравнения этого результата с выражением (23.9) следует равенство

При помощи соотношения (14.6), выполняющегося при любых условиях, величину (23.12) можно, наконец, записать в форме

идентичной (23.11) в силу уравнений движения.

Принимая во внимание еще и зависимость (13.1), которая связывает производящую функцию и бесконечно малую производящую функцию и которая в векторной формулировке представляется так:

можно записать формулы (23.9) и (23.14) следующим образом:

Как было указано выше, предшествующие рассуждения основывались на бесконечно малых канонических преобразованиях. Еще более ограничивая используемые преобразования, а именно считая их преобразованиями симметрии, определенными соотношением (14.7), и подставляя в формулу (23.17) результат (14.8), приходим к равенству

Это — определение преобразования симметрии в формализме Лагранжа, которое следует рассматривать как аналог определения (14.7).

Далее, из равенства (23.13) получается аналог соотношения (14.9), а именно

Объединяя теперь полученные выше результаты с данными теории поля, мы будем иметь дело с обращением соответствия (17.3), т. е. соответствием

В теории поля были введены преобразование координат и функциональное преобразование

Как показывает приведенный выше пример, аналогичные зависимости

скрываются за изучавшимися ранее каноническими преобразованиями, так что имеет место соответствие

причем

В силу равенства (22.29) отсюда следует, что

В дальнейшем будем предполагать, что рассматриваемые преобразования являются преобразованиями симметрии.

Переписав соотношение (22.61) теории поля в соответствующем механике смысле, получим

где

причем дифференциальные законы сохранения (22.69) И (22.70) перейдут в законы

и

Теперь нам нужно отыскать связь между и Поскольку в определении везде фигурирует один и тот же аргумент в то время как в определении в один член входит аргумент , а в другой эта связь, очевидно, такова:

Подставив сюда значения найденные из формул (23.18) и (23.25) соответственно, получим

Для наглядного пояснения этой общей теории применим данный формализм к нашему примеру системы материальных точек. При этом потребуется найти величины, , входящие в законы сохранения (23.26) и (23.27).

Согласно равенству (15.5), имеем

Это выражение мы впоследствии подставим закон (23.26).

Из равенства (15.8) получаем соответствующую этому примеру функцию Лагранжа

Отсюда с учетом равенства (15.5) имеем

В силу зависимости (23.28) сопоставление этого результата с формулой (23.25) дает

Таким образом, согласно равенству (23.29),

Подстановка этих значений и выражения (23.30) для в уравнения (23.26) и (23.27) приводит к известным законам сохранения

подробно обсуждавшимся выше (разд. 15).

Подставив выражение (15.1) для бесконечно малой производящей функции в формулу (23.15), для самой производящей функции получим

что полностью согласуется с соотношениями (23.29) и (23.33).