9.2. Построение производящей функции

Для того чтобы рассуждения, проведенные выше, были справедливы, производящая функция должна иметь структуру (9.2). В дальнейшем мы будем строить функцию исходя из четырех функций:

которые включают все четыре возможные комбинации переменных. При этом во все функции должно входить равное число старых и новых переменных. Каждую функцию мы дополним таким корректирующим членом, который обеспечит требуемую структуру функции

Случай А:

Образуем полный дифференциал функции и сравним его с полученным выше выражением (9.4), что даст

Это система уравнений, из которой по заданной функции можно найти и Я и тем самым решить поставленную задачу.

Случай В:

Для того чтобы доказать, что такой подход приводит к цели, образуем полный дифференциал

Сравнивая этот результат с выражением (9.4), получаем

Это формулы преобразования для случая В.

Случай С:

Здесь последовательность вычислений такая же, как в случае В. Образовав полный дифференциал

и сравнив его с выражением (9.4), приходим к формулам преобразования

Случай

Вычислив полный дифференциал, получим

Сравнивая этот результат с выражением (9.4), находим формулы преобразования

Поскольку функции можно выбирать произвольно, переменные полностью утрачивают характер координат и импульсов. Для того чтобы пояснить это, выберем, например,

что соответствует случаю А. Из соотношений (9.17) следуют формулы преобразования:

Таким образом, в этом примере координаты и импульсы просто меняются ролями (с точностью до знака).

Если положить

где — произвольные функции, то мы имеем случай С. При этом из соотношений (9.23) вытекают формулы преобразования

Первое из этих равенств показывает, что мы имеем дело с самым общим точечным преобразованием. Следовательно, все точечные преобразования являются каноническими.

Изложенные выше результаты основаны на том, что переменные и рассматриваются как независимые. Если, напротив, учитываются связи между этими переменными, то ход рассуждений должен быть соответственно изменен; например, если , то в случае А из равенства (9.4) будут следовать соотношения