11.5. Правило квантования Бора — Зоммерфельда

Переход к полуклассической квантовой механике осуществляется применением к фазовому интегралу правила квантования Бора — Зоммерфельда:

(h — постоянная Планка). При этом квантовое число может принимать лишь целые значения. Частная производная (11.39) переходит в разностное отношение, так как в силу условия

изменение переменной действия, меньшее невозможно. Отсюда получается соотношение

в котором мы узнаем формулу Планка.

Применяя правило Бора — Зоммерфельда (11.40) к рассматривавшейся в разд. 10.2 задаче Кеплера, получаем, согласно уравнению (10.37),

(величина называется азимутальным квантовым числом) и, согласно уравнению (10.38),

(величина является радиальным квантовым числом). Мы выбрали знак плюс с тем, чтобы могло принимать только

положительные значения. Величины представляют собой минимальное и максимальное значения полярного радиуса соответственно. Вычисление интеграла (скажем, в комплексной плоскости ) дает

откуда получаются дискретные уровни энергии

в которые входит главное квантовое число

Энергия отрицательна потому, что речь идет о связанном состоянии. В соответствии с введенными выше обозначениями для атомов принимается Формула (11.45) имеет место для атома водорода, а также для водородоподобных систем.