18. ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА

В теории поля функция Лагранжа представляет собой интеграл по фиксированному объему в трехмерном координатном пространстве; подынтегральной функцией является плотность лагранжиана

Плотность лагранжиана зависит от полевых функций и их производных, а также, может быть, явным образом от координат и времени. Аналогия с функцией Лагранжа (4.24) очевидна. В релятивистской записи плотность лагранжиана имеет вид

причем вертикальная черта в индексе означает частную производную:

Введенную таким образом плотность лагранжиана называют плотностью лагранжиана первого порядка, так как в нее входят только первые производные.

Плотность лагранжиана играет в теории поля такую же важную роль, как функция Лагранжа в механике. Для того чтобы основанная на этом теория согласовывалась со специальной теорией относительности, плотность лагранжиана должна быть релятивистским инвариантом. Связанный с этим круг вопросов мы будем подробно обсуждать ниже.

Интегрируя равенство (18.1) по времени от 10 до и учитывая, что четырехмерный элемент объема

также является релятивистским инвариантом, получаем (по аналогии с (8.1)) следующее релятивистское выражение для действия

При этом четырехмерный объем, по которому берется интеграл, определяется соответствующей трехмерной записью. Поэтому для фиксированного четырехмерного пространственно - временного объема действие также является инвариантом. Для простоты изложения мы в дальнейшем везде, где это возможно, будем придерживаться четырехмерной формы записи. Кроме того, напомним принятые выше соглашения, а именно:

1) строчные греческие буквы в индексах пробегают значения от 1 до 3;

2) строчные латинские буквы в индексах пробегают значения от 1 до 4;

3) заглавные греческие буквы и т. д. в индексах пробегают значения от 1 до N (N — число полевых функций).

Для индексов всех трех видов принимается эйнштейновское соглашение о суммировании, причем суммирование проводится по всему числу измерений соответствующего пространства. Будем вести записи так, чтобы из двух одинаковых индексов, по которым ведется суммирование, один был ковариантным (нижним), а другой контравариантным (верхним). При этом дифференциальный оператор считается ковариантной величиной, а дифференциальный оператор — контравариантной.

Как и ранее, будем использовать вещественные галилеевы координаты По сравнению с частично мнимыми координатами Минковского они обладают тем преимуществом, что не вносят условной (искусственной) мнимости, так что доле комплексных чисел появляется только в связи с квантовой теорией.

Разумеется, при этом следует строго соблюдать различие между ковариантными и контравариантрыми индексами.

Теперь, после такой подготовки, мы можем, обобщая равенство (4.30), сформулировать принцип - Гамильтона как ковариантный релятивистский принцип. Он записывается так:

Вариации полевых функций берутся в обычном смысле вариационного исчисления. По аналогии с условием (4.22) полевые функции должны оставаться постоянными на границе () четырехмерной области :

При изложении теории поля мы будем близко следовать формулировкам и символике, принятым в нашей монографии (Шмутцер [1]).