22.3. Субстанциональная вариация и локальная вариация

После подготовки, проведенной в предыдущем разделе, мы можем определить субстанциональную вариацию полевой функции, Мы понимаем под ней величины

Продифференцировав выражение (22.23) по мы обнаружим, что операция субстанционального варьирования не перестановочна с частным дифференцированием. А именно, согласно правилу дифференцирования сложной функции,

Поскольку является бесконечно малой, можно положить

Подставив для коэффициентов значения (22.7), получим значения (22.7), получим

Сравнение этого результата с определением (22.24) приводит к соотношению

которое доказывает наше утверждение.

Теперь определим другой вид вариации, а именно локальную вариацию, обладающую тем свойством, что соответствующая операция перестановочна с частным дифференцированием. Для этого добавим к выражению субстанциональной вариации бесконечно малый поправочный член:

Дифференцируя выражение (22.29), находим

В силу (22.11) мы можем переписать этот результат в следующем виде:

В силу равенства смешанных производных отсюда следует, что

тем самым перестановочность операций локального варьирования и частного дифференцирования доказана.

В теории поля важную роль играет еще одно понятие, а именно дифференциал Ли:

Для того чтобы лучше пояснить понятие локальной вариации, несколько преобразуем ее выражение. Из определения (22.29) вытекает следующее соотношение:

Разложение в ряд Тейлора дает

или — в принятом приближении —

Таким образом, мы получаем

Следовательно, локальную вариацию можно истолковать как изменение полевой функции при преобразовании координат, причем, однако, в функцию подставляются «старые» (не преобразованные) аргументы. В отличие от этого субстанциональная вариация представляет собой изменение полевой функции, в котором, как показывают индексы, учитываются и изменения аргументов при переходе к новой системе отсчета.

Геометрический смысл этого высказывания с сохранением принятых здесь обозначений демонстрируется на одном из рисунков в нашей монографии (Шмутцер [1]).

Используя определения субстанциональной и локальной вариаций, легко показать, что для обеих имеет место правило дифференцирования произведения:

Приведем схему доказательства для субстанциональной вариации:

Поскольку последнее слагаемое в правой части является малой второго порядка, им можно пренебречь, что и доказывает наше утверждение.

Согласно определению (22.29), локальная вариация отличается от субстанциональной лишь добавочным членом, содержащим частную производную. В силу того что правило дифференцирования произведения справедливо при частном дифференцировании, оно будет выполняться и для локальной вариации.