10. ПРИМЕРЫ ТЕОРИИ ГАМИЛЬТОНА—ЯКОБИ

10.1. Линейный гармонический осциллятор

В разд. 7.3 мы исследовали линейный гармонический осциллятор в качестве примера теории Гамильтона. Здесь мы весьма обстоятельно рассмотрим этот прозрачный пример для наглядного представления теории Гамильтона — Якоби, так как на нем можно четко продемонстрировать характерные черты этой теории.

Функция Гамильтона задается формулой (7.15):

Поскольку речь идет о консервативной системе, можно использовать уравнение Г амильтона — Якоби в виде (8.27):

Здесь можно было заменить частную производную от полной производной, так как является единственной независимой координатой.

Из уравнения (10.2) следует, что

Интегрируя, находим и в соответствии с формулой (8.26) получаем

Таким образом, полный интеграл найден. Единственным существенным параметром (помимо аддитивной постоянной интегрирования, которая не играет никакой роли) является энергия Е. В задачу входит только одна координата, а именно и поэтому можно положить Е — а.

Поскольку во многих случаях с физической точки зрения представляет интерес лишь траектория движения, на этой стадии решения задачи можно не вычислять интеграл.

Находим частную производную от 5 по Е:

Выполняя интегрирование, что на этой стадии уже необходимо, целесообразно использовать подстановку

Примем для удобства записи (см. равенство (7.20)); тогда

Теперь используем формулу (9.47), т. е. положим

и таким образом получим

Этот результат в точности совпадает с формулой (7.19), отличаясь от нее лишь выбором постоянных интегрирования. Сравнение этих двух результатов, в частности, приводит к соотношению

Мы воспользовались случаем показать на этом наглядном примере конкретное применение изложенной выше теории потому, что здесь можно отметить несколько интересных моментов.

Прежде всего определим аддитивную постоянную интегрирования в выражении (10.4) так, чтобы привести функцию 5 к виду (8.26). Это даст

где соответствует начальному положению материальной точки. Выполняя интегрирование, находим

Сравним данный результат с выражением для действия, полученным непосредственным интегрированием. Для этого продифференцируем функцию (7.19) по времени:

подставим это выражение совместно с выражением (7.19) в формулу (7.13) и получим функцию Лагранжа

Отсюда интегрированием, согласно равенству (8.1), находим действие

Начальное значение координаты в силу (7.19) определяется как

а начальная скорость в силу (10.12) — как

Используя эти равенства, можно выразить постоянные интегрирования С и А, через

Подставив эти значения в выражения (7.19), (10.12) и (10.14), мы приходим к введенным в общей теории выражениям вида (8.2), (8.3) и (8.4) соответственно. Разрешив полученное таким образом из (7.19) равенство относительно находим

— результат, аналогичный (8.5). Подстановка этого выражения для начальной скорости в формулы (10.17) дает

так что выражение (10.14) принимает вид

или — с учетом равенства

который соответствует структуре функции (8.6).

Отметим еще раз следующее обстоятельство: выражение для действия (10.11) представляет собой полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби, в то время как соотношение (10.21) дает действие, описывающее фактический процесс движения, поскольку этот процесс отражен в данном соотношении учетом формул (7.19) и (10.12). Поэтому, используя уравнение (7.19), можно привести выражение (10.11) к виду (10.21). Этим мы и займемся ниже.

Учитывая равенство выражение (10.11) можно переписать так:

В силу (10.9) отсюда следует, что

Подстановка выражения (7.19) приводит к равенству

или

Этот результат совпадает с выражением (10.14), что и доказывает наше утверждение.

Несколько продолжим наш пример. Дифференцирование функции (10.21) дает

Используя значения (10.19), выражению (10.12) можно придать следующий вид:

При помощи этой формулы и формулы (10.18) из (10.26) получаем равенства

непосредственно соответствующие соотношениям (8.11) и (8.12) общей теории.

Продифференцируем, кроме того, функцию (10.21) частным образом по времени:

С другой стороны, согласно

Здесь еще раз обнаруживается, что действие удовлетворяет уравнению Гамильтона — Якоби.