9. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

9.1. Инвариантность уравнений движения при канонических преобразованиях

Канонические преобразования играют фундаментальную роль в классической механике. При них преобразуется как независимые переменные так и зависимая переменная Н (а — как следствие — также )

(черта над буквой означает результат канонического преобразования). Канонические преобразования — это такие преобразования

которые оставляют инвариантным весь канонический формульный аппарат, причем, однако, функция Гамильтона и функция Лагранжа меняются вполне определенным образом. Канонические преобразования принадлежат к классу касательных (контактных) преобразований.

Для того чтобы получить канонические преобразования, мы будем исходить из понятия производящей функции (генератора)

на которую накладывается следующее условие: она должна зависеть только от старых координат Як, новых координат и времени . Эта функция вводится равенством

Умножая это равенство на и разрешая результат относительно получаем выражение полного дифференциала

показывающее, что функция действительно зависит только от и Поскольку по определению канонического преобразования переменные, отмеченные чертой, также должны удовлетворять формализму Гамильтона — Лагранжа, наряду с соотношением

вытекающим из определения (6.2), должно выполняться соотношение

Отсюда следует, что

или что

Проинтегрировав это равенство в интервале между двумя фиксированными моментами времени и

и образовав вариацию, получим и

По предположению, для исходных переменных справедлив принцип Гамильтона

и

Потребуем, чтобы в новой системе так же, как и в исходной, вариации координат в начальной и конечной точках обращались в нуль:

Поскольку является функцией только от в начальной и конечной точках обращается в нуль и вариация Отсюда в соответствии с равенством (9.9) следует справедливость принципа Гамильтона в новых переменных:

а отсюда в свою очередь непосредственно вытекают уравнения Лагранжа

Проводя теперь для новой системы те же рассуждения, которые выше были проведены для исходной, и в частности полагая

сразу видим, что и для новой системы действительно выполняются уравнения Гамильтона