13. БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

В этом разделе устанавливается возможность еще одного важного применения канонических преобразований. При этом будет рассматриваться бесконечно малое изменение переменных, подвергающихся каноническому преобразованию.

Как это обычно делается в дифференциальном исчислении, будем пренебрегать малыми второго порядка по сравнению с малыми первого порядка.

Мы исходим из производящей функции

причем

является бесконечно малой величиной; назовем ее бесконечно малой производящей функцией. Таким образом, функция тоже бесконечно мала.

Из формулы (13.1) получаем

С точностью до малых первого порядка этот результат можно переписать так:

Сопоставляя его с соотношением для общего случая (9.4), находим искомые формулы преобразования:

Бесконечно малые изменения переменных в отличие от их виртуальных приращений будем обозначать символом

Тогда формулы (13.5) принимают вид

Ниже мы покажем, что процесс движения механической системы во времени можно интерпретировать как последовательность бесконечно малых канонических преобразований (изменение переменных в интервале между двумя моментами времени соответствует изменению этих переменных вследствие бесконечно малого канонического преобразования). Для этого мы запишем уравнения Гамильтона следующим образом:

В соответствии с доказываемым утверждением отождествим дифференциалы в уравнениях (13.8) с бесконечно малыми изменениями (13.7):

При этом из уравнений (13.7) и (13.8) следует, что

поскольку время не оказывает никакого влияния на дифференцирование по координатам, отсюда получается бесконечно малая производящая функция в следующем виде:

Соотношение (13.11) показывает, что при этом процессе движения функция Гамильтона определяющим образом входит в бесконечно малую производящую функцию.

В силу общей формулы (7.5) для бесконечно малой производящей функции выполняется равенство

В частном случае, когда для I принимается выражение (13.11), имеем

так что последнее из равенств (13.6) записывается в виде