3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ

3.1. Принцип Даламбера

Принцип Даламбера является наиболее значимым из всех дифференциальных принципов. Для того чтобы его сформулировать, необходимо сначала ввести понятие виртуального перемещения.

Виртуальное перемещение представляет собой допускаемое связями бесконечно малое перемещение точки при фиксированном времени. Виртуальное перемещение материальной точки обозначается через (в отличие от реального бесконечно малого перемещения происходящего в течение некоторого интервала времени).

Принцип Даламбера записывается следующим образом:

В силу того что виртуальные перемещения не являются независимыми, из этого равенства не вытекает уравнение движения (1.1). Поэтому возникает вопрос, какие уравнения движения эквивалентны равенству (3.1).

Для виртуальных перемещений уравнение связи (2.3) принимает вид

Согласно методу множителей Лагранжа, умножим каждое такое уравнение на соответствующий множитель сложим результаты по всем I связям и вычтем полученную сумму из равенства (3.1). Это дает

Отсюда можно получить уравнение движения в такой форме:

В самом деле, выберем I множителей так, что для I слагаемых, входящих в уравнение (3.3), величины, стоящие в - скобках, обратятся в нуль. После этого останется сумма, содержащая слагаемых. Поскольку рассматриваемая

система имеет степеней свободы, из перемещений можно выбрать произвольно, в частности можно все их, кроме одного, положить равными нулю. Тогда коэффициент при этом ненулевом перемещении (величина, стоящая в соответствующих скобках) должен обращаться в нуль. Таким образом, все величины, стоящие в скобках, должны быть равны нулю.

3N уравнений (3.4) и уравнений (2.1) в совокупности образуют систему уравнений для определения координат и I неопределенных множителей Лагранжа

Сопоставляя уравнение (3.4) и уравнение (1.2а), находим следующее выражение для суммарной силы реакции, действующей на материальную точку:

Таким образом, мы представили силу реакции через коэффициенты, входящие в уравнения связей. В силу уравнения (3.2) из равенства (3.5) следует, что

Будем интерпретировать скалярное произведение как виртуальную работу, совершаемую действующей на материальную точку силой реакции тогда уравнение (3.6) станет эквивалентом следующего утверждения: суммарная виртуальная работа всех сил реакций, действующих на механическую систему, равна нулю.

В частном случае равновесия принцип Даламбера называется принципом виртуальных перемещений. Принцип виртуальных перемещений используется для вывода уравнений равновесия.

Для того чтобы пояснить проведенные выше общетеоретические рассуждения, представим себе систему, состоящую из двух материальных точек равной массы, на которые действует сила тяжести. Точки прикреплены к концам нерастяжимой нити, перекинутой через блок. Движение этих точек не является свободным: уравнение связи получается из того условия, что точки соединены нитью постоянной длины; поэтому виртуальное перемещение одной из точек влечет за собой виртуальное перемещение другой. При этом суммарная виртуальная работа будет равна нулю.

В случае изолированной точки, на движение которой наложена одна голономная связь, выражение (3.5) для реакции этой связи принимает вид

(см. равенство (2.7)). Следовательно, реакция данной связи перпендикулярна поверхности F = const, например плоскости стола. Таким образом, выясняется, что при виртуальном перемещении точки по этой поверхности работа силы реакции равна нулю.

Для обозначения виртуального перемещения мы использовали символ вариации Поскольку время фиксировано, в действительности речь идет о бесконечно малом изменении (вариации) координат. Поэтому соответствующие математические операции осуществляются так же, как в вариационном исчислении; в частности, вычисление вариации функции проводится аналогично вычислению полного дифференциала.

3.2. Уравнение баланса энергии для системы со связями

Исследуем изменение энергии механической системы со связями при ее реальном движении.

Умножив уравнение Лагранжа первого рода (3.4) на и введя в рассмотрение элементарную работу, совершаемую действующей на материальную точку активной силой,

и кинетическую энергию материальной точки

получим уравнение баланса энергии для этой точки:

В случае голономных связей подставим в это уравнение выражения (2.7) для и перепишем его так:

Из соотношения (2.6) имеем

Просуммировав уравнения (3.10) по всем материальным точкам, приняв во внимание равенства (3.11) и положив

получим уравнение баланса для дифференциала суммарной кинетической энергии Т и суммарной элементарной работы А:

Второе слагаемое в правой части этого уравнения представляет собой элементарную работу, совершаемую реакциями реономных связей (примером может служить изменение кинетической энергии теннисного мяча при перемещении ракетки, плоскость которой представляется уравнением (2.6) голономной реономной связи).

Если активные силы, действующие на систему, являются потенциальными, то имеет место равенство

где — потенциальная энергия. Полагая

(Е — полная энергия системы), из уравнения (3.13) получаем уравнение баланса энергии в следующей форме:

Для системы с голономными склерономными связями отсюда сразу следует закон сохранения энергии

3.3. Пример голономной связи (равновесие сферического маятника)

Используя принцип виртуальных перемещений, найдем положения равновесия материальной точки, находящейся в однородном поле тяжести и движущейся по некоторой сфере (сферический маятник). Если радиус сферы равен (рис. 1), то уравнение голономной склерономной связи, принимает вид

Потенциальная энергия задается выражением

где — ускорение силы тяжести, и

Наличие связи ограничивает движение рассматриваемой точки и исключает одну из трех степеней свободы, так что мы располагаем двумя независимыми координатами.

Рис. 1.

Положение равновесия мы будем искать следующим образом: найдем экстремум потенциальной энергии с учетом того, что координата не выбирается произвольно, а удовлетворяет уравнению (3.18). В анализе указываются два метода решения таких экстремальных задач: метод исключения и метод множителей Лагранжа.

Пользуясь методом исключения, подставляем в выражение (3.19) значение полученное из уравнения (3.18), что дает

где х и у — независимые координаты. Необходимые условия экстремума таковы:

откуда следует, что

и в силу (3.18)

(плюс соответствует положению неустойчивого равновесия, а минус — положению устойчивого равновесия).

Пользуясь методом множителей Лагранжа, ищем экстремум функции

Здесь вводится новая переменная — множитель К, и поэтому Все три координаты можно считать незарисимыми.

Тогда необходимые условия экстремума записываются в виде

откуда следует, что

Снова в силу (3.18)

и поэтому

Использование изложенного выше метода множителей Лагранжа эквивалентно использованию метода возможных перемещений. Действительно, в случае равновесия векторное уравнение (3.4) сводится к равенствам

которые можно переписать в виде

или в виде

т. е. в виде равенств (3.26). Сила реакции определяется по формуле (3.7) и составляет

В положениях равновесия эта сила принимает значение

3.4. Пример неголономной связи (катящийся диск)

В качестве примера движения системы с неголономнымн связями Г. Гамель исследовал качение диска по шероховатой неподвижной плоскости; такое движение совершает вращающийся обруч, брошенный на пол под некоторым углом. Заметим, что здесь рассматривается движение твердого тела, а не движение материальной точкц,

Выберем систему декартовых координат так, чтобы плоскость совпадала с неподвижной плоскостью (рис. 2); тогда координаты х и у будут определять положение точки Р касания диска (радиусом а) с этой плоскостью. Обозначим через угол между осью колеса и осью через — угол между касательной к траектории точки касания и осью и через — угол между радиусом, проходящим через точку касания, и некоторым фиксированным радиусом а; угол отсчитывается в направлении вращения.

Рис. 2.

Таким образом, положение диска определяется пятью координатами: Однако, поскольку по- вороту катящегося без скольжения диска неизбежно сопутствует его перемещение, должно выполняться условие чистого качения

Проектируя это условие на оси координат, получаем два уравнения связей

или

Поскольку условия интегрируемости здесь не выполняются, мы имеем два уравнения неголономных связей, так что диск в малом имеет только три степени свободы. Это число степеней свободы в малом следует отличать от числа независимых координат, которые могут быть заданы в качестве начальных значений при движении диска (числа степеней свободы в большом).

3.5. Принцип Гаусса (принцип наименьшего принуждения)

В связи со своим методом наименьших квадратов Гаусс (1829 г.) формулировал принцип наименьшего принуждения. По Гауссу, мерой принуждения является величина

Так как движение механической системы при устранении наложенных на нее связей описывалось бы законом Ньютона (1.1), принуждение в действительности представляет собой меру отклонения системы от свободного движения. Квадратичные слагаемые соответствуют квадратам ошибок в теории ошибок, а массы — весам.

Согласно Гауссу, истинное движение системы, на которую наложены связи, происходит так, что принуждение достигает минимума, т. е.

При этом варцация берется при фиксированных значениях координат и скоростей всех точек:

Из формулы (3.37) следует, что

Согласно уравнению связи (2.3),

откуда полным дифференцированием по времени находим

С учетом равенств (3.39) отсюда получаем, что

Умножим это равенство на множитель Лагранжа, и просуммируем по всем связям:

Данное равенство умножим на два и почленно вычтем резуль тат из соотношения (3.40). После этого условие (3.38) запишется в следующем виде:

Отсюда можно вывести уравнения Лагранжа первого рода (3.4), используя тот же ход рассуждений, что и в разделе, посвященном принципу Даламбера.

Принцип прямейшего пути Герца является частным случаем принципа Гаусса и поэтому мог бы казаться не заслу живающим особого внимания. Однако за ним скрываются глубокие физические идеи, частично остающиеся актуальными и в настоящее время, Г. Герц стремился исключить силы из своей теории и рассматривал системы, на которые не действуют активные силы. При этом он исходил из понятия элемента дуги траектории системы в многомерном пространстве,

и понятия кривизны этой траектории, определяя величину К формулой

Для развития своей теории Герц должен был принять массы всех точек кратными некоторой единичной массе. Его принцип прямейшего пути заключается в минимизации кривизны:

Сразу видно, что эти идеи весьма близки к эйнштейновской теории гравитации, где, как известно, сила тяготения тоже исключается за счет искривленности четырехмерного пространственно - временного континуума, так что движение частицы происходит по геодезической (по прямейшему пути в смысле римановой геометрий).