22.8. Симметричный тензор энергии - импульса

Хотя канонический тензор энергии - импульса (22.66) играет весьма важную роль в каноническом аппарате, он не удовлетворяет некоторым существенным физическим требованиям, например не является калибровочно инвариантным в случае максвелловского поля.

Помимо этого тензора существует симметричный тензор энергии - импульса

который используется в эйнштейновских уравнениях гравитационного поля и определяется на основе общей теории относительности. Белинфанте и др. предприняли попытку построить этот тензор и получили

вывод приводится в нашей монографии (Шмутцер [1])

Продифференцировав это выражение по и приняв во внимание уравнение (22.78) и условие антисимметрии (22.79), получим

В правой части первое слагаемое тождественно обращается в нуль (свертка симметричного и антисимметричного выражений), а второе и третье взаимно уничтожаются при замене индексов, по которым производится суммирование. Таким образом, и для симметричного тензора энергии - импульса имеет место дифференциальный закон сохранения

В этой связи упомянем, что некоторые авторы, не придерживающиеся формализма Нётер, определяют тензор момента импульса через симметричный тензор энергии - импульса, полагая

Продифференцировав это выражение и учтя равенство (22.89), а также условие симметрии (22.87), обнаружим, что подобно соотношению (22.83) справедлив также дифференциальный закон сохранения

Тензор, который получается применением к тензору момента импульса оператора дивергенции и умножением результата на с,

называют тензором вращающего момента, обобщая соответствующее механическое понятие.