7. ЗАПИСЬ ФОРМАЛИЗМА ГАМИЛЬТОНА ЧЕРЕЗ СКОБКИ ПУАССОНА

7.1. Определение скобок Пуассона

Пространство обобщенных координат называется конфигурационным пространством-, пространство, образованное обобщенными импульсами называется пространством импульсов. Размерность каждого из этих пространств равна так что произведение этих двух пространств — фазовое пространство (более подробная классификация пространств осуществляется в статистической механике), обладает числом измерений Фазовое пространство является, так сказать, ареной для формализма Гамильтона. Это положение дел распространяется и на полуклассическую квантовую механику.

В строгой квантовой механике и в квантовой теории поля широко используется понятие коммутатора. Классический прообраз этих коммутаторов — скобки Пуассона, которые играют чрезвычайно важную роль при переходе от классической механики к механике квантовой. Поэтому мы хотим подробно поговорить здесь об этих скобках.

Для двух произвольных функций заданных в фазовом пространстве, скобки Пуассона определяются так:

Для скобок Пуассона выполняются следующие соотношения:

Справедливость этих соотношений удостоверяется самим определением (7.1). Соотношение 1 устанавливается сразу. Соотношение 2 также непосредственно ясно, поскольку производная от постоянной равна нулю. Соотношение За вытекает из того обстоятельства, что производная от суммы равна сумме производных. Соотношение можно получить из соотношения За в силу соотношения антисимметрии. Соотношение 4а является следствием правила Лейбница для дифференцирования произведения, а соотношение получается из 4а в силу соотношения антисимметрии. Соотношение 5 (тождество Якоби) подтверждается непосредственными вычислениями.

Интересно, что для коммутатора двух квантовых операторов определяемого равенством

выполняются те же формальные соотношения (7.2). Поэтому возникает надежда (и эта надежда оправдывается) получить квантовые уравнения, отражающие изучаемые в квантовой физике явления, формальной заменой скобок Пуассона коммутатором

в который включен соответствующий размерный множитель (здесь — мнимая единица, введенная из математических соображений совместности, а модифицированная постоянная Планка),