22.7. Дифференциальные законы сохранений

При предположении, что уравнения поля выполняются, т. е. что вариационные производные плотности лагранжиана обращаются в нуль, соотношение (22.67) принимает вид

Поскольку преобразования координат и функциональные преобразования представляют собой взаимно независимые операции, это равенство распадается на дифференциальные законы сохранения

и

имеющие структуру уравнения непрерывности, т. е. утверждающие равенство нулю четырехмерной дивергенции.

Как известно, уравнение непрерывности в трехмерной формулировке, а именно

можно, полагая представить следующей четырехмерной записью:

Но это как раз тот вид, который имеют уравнения (22.69) и (22.70).

Предположив, что функциональную вариацию можно записать в форме

где а — постоянный бесконечно малый параметр, а — свободные коэффициенты, и введя общий -вектор плотности тока

из (22.69) получим (полагая ) дифференциальный закон сохранения

Теперь остается физически интерпретировать равенство (22.70). Подстановка в это равенство получающегося из формулы (22.19) выражения субстанциональной вариации

в силу (22.11) дает (при предположении )

В силу независимости сдвига и поворота отсюда сразу же следует дифференциальный закон сохранения энергии-импульса

Введя, краткости ради, обозначение

запишем остающуюся часть равенства (22.77):

Из-за свойства антисимметрии величин нельзя сразу заключить, что коэффициенты при этих величинах обращаются в нуль; сначала надо выделить в этих коэффициентах симметричную и антисимметричную части.

Поскольку члены, соответствующие симметричной части, тождественно обращаются в нуль, остается

откуда следует, что

Если ввести тензор момента импульса

то равенство (22.81) примет вид дифференциального закона сохранения момента импульса и скорости центра масс:

Иногда может оказаться целесообразным разложить тензор момента импульса на орбитальную

и не зависящую от координат спиновую

части, так что

В заключение укажем, что закон сохранения энергии - импульса (22.78) включает четыре уравнения, а закон сохранения момента импульса и скорости центра масс (22.83) — шесть уравнений. Физический смысл этих соотношений будет выяснен в связи с соответствующими интегральными законами сохранения. Однако, проследив происхождение дифференциальных законов сохранения, можно уже сейчас установить связь симметрий и соответствующих законов сохранения, совершенно аналогичную существующей в механике связи. Эта связь такова:

пространственный сохранение сдвиг - импульса однородность

временнбй сдвиг сохранение пространства - времени энергии

пространственный сохранение поворот момента

импульса изотропность равномерное сохранение пространства-времени

поступательное скорости движение центра масс