20. УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА

В теории поля можно вывести уравнения, представляющие собой аналог механических уравнений Гамильтона. Для этого введем, по аналогии с понятием канонического импульса (6.4), величины

В то время как в механике имеет место сопоставление

в теории поля существует релятивистское соответствие

В механике одной обобщенной координате Як по мере надобности сопоставляется один обобщенный импульс Но если в теории поля строго следовать формальным правилам, то одной полевой функции нужно поставить в соответствие четыре величины, а именно

Требование согласованности с идеями механики вынуждает нас, однако, отклониться от этой «директивы» и ввести понятие функций импульса

Таким образом получается подсказанное механикой соответствие

однако оно достигается тем, что мы выделяем четвертую компоненту (время) и тем самым выходим за рамки строгого релятивистского четырехмерного формализма.

По аналогии с функцией Гамильтона (6.2) введем в теории поля плотность гамильтониана

В этом месте мы также отказываемся от ковариантности, поскольку при определении данной важной величины выделяется время. Следовательно, полученные отсюда уравнения Гамильтона не должны появляться в четырехмерном формализме. Здесь мы достигли границы, до которой идеи механики можно переносить в релятивистскую теорию поля.

Образуем полный дифференциал Ж:

Запись означает производную по координате которая входит явным образом в функцию в качестве

независимой переменной. Величины связаны следующей зависимостью:

Из соотношения

следует, что

Отсюда видно, что имеет вид

если и являются независимыми. Мы будем развивать теорию для этого случая.

Мы можем теперь записать равенства

Далее, несколько преобразуем уравнение Лагранжа (19.12):

Отсюда следует, что

Подстановка этих выражений в систему (20.11) дает уравнения Гамильтона теории поля:

Эти уравнения можно приблизить по виду к механическим уравнениям Гамильтона, если ввести понятие функциональной

производной. Функциональные производные от некоторого интегрального выражения

определяются следующим образом:

Представим функцию Гамильтона как интеграл по чисто пространственному объему от плотности гамильтониана:

Взяв функциональные производные от Я и подставив их в приведенные выше уравнения Гамильтона, получим

т. е. действительно установим далеко идущее формальное соответствие с механическими уравнениями Гамильтона (6.9).