22.4. Функциональная вариация и полная вариация

Вариации рассмотренных ранее видов получались за счет изменения системы координат. При функциональной вариации, как было упомянуто выше, изменение претерпевает не система координат, а структура полевой функции. Измененную функцию мы будем обозначать тильдой (волной). Тогда функциональная вариация определяется как

Поскольку вычисление функциональной вариации и преобразование координат являются независимыми операциями, можно изменить их порядок:

Полная вариация, которую мы обозначим через по определению представляет собой изменение полевой функции при одновременном функциональном преобразовании и преобразовании координат; таким образом,

Полная вариация является суммой субстанциональной вариации и функциональной вариации; это доказывается следующими вычислениями, в которых малые второго порядка снова опускаются:

Поскольку функциональное варьирование не влияет на координаты, очевидна его перестановочность с частным дифференцированием:

Эта взаимосвязь напоминает аналогичное соотношение (4.15) из механики. Отнюдь не случайно мы использовали и здесь

тот же самый символ вариации (заметим, что этот же символ применялся и при выводе уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона в теории поля).

Из определения (22.39) функциональной вариации и вычислений, которые проводятся так же, как для случая субстанциональной вариации, следует, что для функциональной вариации справедливо правило дифференцирования произведения

Тогда в силу равенств (22.42) и (22.37) правило дифференцирования произведения будет выполняться и для полной вариации: