11.4. Системы с разделяющимися переменными

Для того чтобы иметь возможность развить теорию далее желаемом направлении, мы вынуждены ограничиться системами с разделяющимися переменными. Наша дальнейшая программа состоит в следующем.

Ищем полный интеграл укороченного уравнения Гамильтона — Якоби в виде суммы

При этом получается

Тогда первое и второе из уравнений (11.29) выглядят так:

Фиксируем значения всех координат, кроме Ям, и для движения вдоль соответствующей координатной линии (полагая ) найдем

Интегрируя на протяжении периода, находим приращение

(символ означает, что интегрирование осуществляется на протяжении полного периода). При получается откуда мы заключаем, что

полагая, таким образом, постоянные интегрирования равными нулю. При получается хотя величина меняется в процессе движения.

Интеграл в правой части равенства (11.35) называется зовым интегралом; он идентичен соответствующей переменной действия. Поэтому переменная действия равна площади области, заштрихованной на рис. 7 и 8.

Поскольку в интеграле, входящем в равенство (11.35), интегрирование проводится по координате, в этот интеграл входит еще и параметр так что мы можем записать

Разрешая данную систему относительно

и подставляя результат в формулу (11.31), получаем

Вычисляя частную производную от этой величины по и учитывая равенства (11.27) и (11.24), находим значения частот

Резюмируя наиболее важные из полученных выше результатов, можно утверждать следующее.

1. Решая уравнение Гамильтона — Якоби, получаем производящую функцию канонического преобразования.

2. Вычисляя фазовые интегралы (11.35), находим переменные действия, канонически сопряженные угловым переменным (11.22). Тем самым рассматриваемая динамическая задача оказывается решенной в новых переменных. Обратное преобразование к исходным переменным можно осуществить при помощи определенной выше производящей функции.

3. Согласно равенствам (11.39), дифференцирование энергии по переменным действия дает значения частот.