22.9. Интегральные законы сохранения

При выводе интегральных законов сохранения мы будем исходить из полученных в разд. 22.7 дифференциальных законов сохранения (22.75), (22.78) и (22.83), по форме совпадающих с уравнением непрерывности. При этом оператор дивергенции применяется

в законе (22.75) к тензору первого ранга

в законе (22.78) к тензору второго ранга

в законе (22.83) к тензору третьего ранга

Поскольку коэффициенты преобразования Лоренца являются константами, их можно внести под знак производной, так что вывод интегральных законов сохранения для тензоров всех трех видов не связан с какими-либо затруднениями в отличие от общей теории относительности с ее проблемой сохранения энергии - импульса и т. д. Поэтому можно вывести интегральный закон сохранения, соответствующий уравнению (22.75), и, меняя свободные индексы дифференцируемого выражения, перенести полученные результаты на остальные случаи.

В трехмерной формулировке вывод этого интегрального закона сохранения проводится следующим образом. Уравнение непрерывности (22.71) интегрируют по трехмерной области и применяют к результату теорему Гаусса — Остроградского

где

Если интеграл по поверхности обращается в нуль (например, если ток внутрь конечной области равен току из этой области наружу или если при стремлении области к бесконечности плотность тока убывает быстрее, чем растет площадь ограничивающей область поверхности), то получается интегральный закон сохранения

Этот вывод можно провести и в четырехмерном формализме. Уравнение непрерывности (22.75) интегрируют по четырехмерной области и тоже применяют к результату теорему Гаусса — Остроградского -

Представим себе четырехмерную область в виде цилиндра, который ограничен «сверху» и «снизу» трехмерными пространственноподобными областями и , а «сбоку» времениподобной гиперповерхностью тогда равенство (22.96) можно записать так:

Последнее слагаемое в левой части можно положить равным нулю по тем же причинам, что и в трехмерном формализме. Отсюда следует закон сохранения

Эквивалентность этого результата и равенства (22.95) устанавливается отождествлением

Именно, если в качестве трехмерной области выбрать пространственноподобную гиперплоскость t = const, то тензорные элементы гиперповерхности (19.9) примут вид

так что из (22.99) и (22.94) следует равенство

Итак, мы закончили обсуждение закона (22.75). Правда, вопрос о физическом смысле величины до сих пор оставался открытым. Укажем, что в случае максвелловского поля представляет собой -вектор плотности электрического тока, электрический заряд.

Для обсуждения закона (22.78) введем по аналогии с величиной (22.99) 4-импульс как интеграл

Выбрав и здесь трехмерную область в виде гиперплоскости t = const, получим

Те же выкладки, что и выше, приводят к интегральному закону сохранения энергии - импульса

Трехмерный импульс представляется тремя пространственными компонентами величины (22.103), т. е.

Интегральный закон сохранения трехмерного импульса выражается равенствами

Энергия системы связана с четвертой компонентой 4-импульса следующим образом:

Интегральный закон сохранения энергии выглядит так:

Если при доказательстве сохранения энергии - импульса исходить из симметричного тензора энергии - импульса, т. е. из дифференциального закона сохранения (22.89), то получатся те же самые результаты, поскольку дивергенциальный дополнительный член в выражении (22.88) при интегрировании по пространству можно обратить в нуль.

Теперь займемся законом (22.83) и определим интегральный тензор момента импульса

Выбрав области интегрирования так же, как и выше, получим

Введя понятия интегрального тензора орбитального момента импульса

и интегрального тензора спинового момента импульса

можно записать также равенство

Проводя те же рассуждения, что и выше, получаем интегральный закон сохранения момента импульса и скорости центра масс

Исследуем сначала пространственную часть этого тензора и покажем, что эта константа движения соответствует понятию обычного трехмерного момента импульса. Она также складывается из орбитальной и спиновой частей:

Согласно определению (22.84), имеем

здесь мы ввели каноническую плотность импульса

Это, очевидно, согласуется с механическим определением орбитального момента импульса

Для интегрального тензора спинового момента импульса из формулы (22.85) получаем

Интегральный закон сохранения момента импульса записывается так:

Из-за антисимметрии тензора это уравнение эквивалентно трем уравнениям в компонентах.

Рассмотрим теперь оставшуюся часть уравнения (22.114), а именно уравнение

тоже эквивалентное трем уравнениям в компонентах. Вводя каноническую плотность энергии

и учитывая формулу (22.82), этому уравнению можно придать следующий вид:

Определив центр масс равенством

получим

Отвлекаясь от дополнительного члена, обусловленного спином, это равенство, очевидно, можно сразу интерпретировать как закон сохранения скорости центра масс.

Мы пришли бы к тем же результатам, если бы исходили из дифференциального закона сохранения (22.91), основанного на симметричном тензоре энергии - импульса, поскольку дополнительный член при интегрировании по пространству можно обратить в нуль.