21. ЗАПИСЬ ФОРМАЛИЗМА ГАМИЛЬТОНА ПРИ ПОМОЩИ СКОБОК ПУАССОНА

Будем исходить из тех же идей, что и при определении скобок Пуассона в механике, и рассмотрим поэтому две функции следующего вида:

Далее введем интегральные величины и как интегралы по чисто пространственному объему от

Скобки Пуассона от и определяются через функциональные производные (20.17) следующим образом:

Используя это определение, вычислим скобки Пуассона для некоторых функций и частного вида; полученные результаты играют важную роль при формальном переходе к квантовой теории поля. При выборе в качестве одной из этих функций функции Гамильтона Н имеем

Заменив здесь функциональные производные от Н равными им в силу уравнений Гамильтона (20.19) выражениями и записав функциональные производные от в виде (20.17), придем к следующему результату:

Раскроем скобки в подынтегральном выражении и используем формулу для производной от произведения:

Применим ко второму слагаемому в правой части теорему Гаусса — Остроградского:

Еслй мы примем, что при предельном переходе к интегралу по бесконечному объему подынтегральная функция в интеграле по поверхности стремится к нулю быстрее, чем площадь этой поверхности стремится к бесконечности, то этот интеграл обратится в нуль.

Поскольку

мы имеем

Здесь можно выполнить интегрирование, так как операции дифференцирования по времени и интегрирования по пространственному объему перестановочны, что дает

Это — «уравнение движения» для величины в теории поля. Положив, в частности, получим

Если функция Гамильтона не зависит явным образом от времени; то Я является константой движения и можно отождествить это соотношение с законом сохранения энергии

или

В теории поля мы не случайно выбрали для функции Лагранжа функции Гамильтона Я и действия те же символы, что и в механике. Здесь, несмотря на расширение физических аспектов, мы имеем дело с тем же физическим содержанием, что соответствует непрерывности процесса развития физики.

Применим теперь общие уравнения движения (21.10) к случаям . В соответствии с соотношениями (21.2) мы используем при этом интегральные выражения величин и Па при помощи трехмерной дельта - функции Дирака:

Поскольку здесь нет явной зависимости от времени, из уравнения (21.10) получаются следующие «уравнения движения» для полевых функций и функций импульсов:

Эти уравнения являются полевыми уравнениями Гамильтона, записанными через скобки Пуассона.

Ниже мы вычислим скобки Пуассона от двух полевых функций, от двух функций импульса, а также от полевой функции и функции импульса. Имея в виду квантовомеханические приложения, будем и здесь говорить о коммутационных соотношениях. При вычислениях будут использованы интегральные представления (21.14) и (21.15). В соответствии с общей теорией мы полагаем

а также

Скобки Пуассона от двух полевых функций записываются следующим образом:

при этом надо внимательно следить за тем, по каким аргументам берутся производные.

Обращаясь к определению функциональной производной (20.17), получаем

поскольку полевые функции и функции импульса считаются независимыми друг от друга. Таким образом, из равенства (21.19) следует коммутационное соотношение

Вычислим теперь скобки Пуассона от двух функций импульса

Снова используем определение функциональной производной (20.17) и найдем

так как величины и тоже рассматриваются как независимые. Поэтому из равенства (21.22) вытекает коммутационное соотношение

Выведем, наконец, коммутационное соотношение, включающее полевую функцию и функцию импульса

Последнее слагаемое обращается в нуль в силу независимости Учитывая результаты дифференцирования

приходим к промежуточному равенству

Отсюда интегрированием получается коммутационное соотношение

В отличие от предыдущих результатов здесь скобки Пуассона отличны от нуля, если они содержат полевую функцию и соответствующую ей функцию импульса, причем значения обеих величин берутся в один и тот же момент времени и для одинаковых значений пространственных координат.

В заключение этого раздела вычислим скобки Пуассона от произвольной величины и полевой функции также от произвольной величины и функции импульса П°. Имеем

В подынтегральном выражении первое слагаемое обращается в нуль в силу независимости и остается

После интегрирования это дает

Аналогично вычисляется

Здесь в нуль обращается второе слагаемое в подынтегральном выражении, так что остается

Таким образом, после интегрирования получается

или — при использовании функциональной производной —

Для уравнений (21.32) и (21.36) существуют механические аналоги — уравнения (7.8) и (7.9).

Выведенные в этом разделе соотношения, в которых фигурируют скобки Пуассона, имеют принципиальное значение при формальном переходе к квантовой теории поля, поскольку там скобки Пуассона становятся коммутаторами от соответствующих полевых операторов, подобно тому, как это устанавливается для механики соответствием (7.4).