6.2. Пример формализма Лагранжа — Гамильтона (математический маятник)

На этом простом примере мы покажем принципиальный ход решения задачи в рамках формализма Лагранжа — Гамильтона.

Рассмотрим плоское движение материальной точки в однородном поле тяжести (рис. 5). Так как речь идет о плоском движении, которое мы будем считать происходящим, например, в плоскости положение точки будет определяться координатами при этом уравнение связи получается из условия, что движение точки происходит по окружности К. Поэтому из двух степеней свободы плоского движения остается только одна.

Рис. 5.

Такой ход рассуждений не является самым простым. Совершенно очевидно, что в данной задаче с одной степенью свободы за обобщенную координату лучше всего принять угол отклонения маятника от вертикали.

Поскольку речь идет о консервативной системе с потенциалом, не зависящим от скоростей, в соответствии с определением (4.24) имеем

здесь — длина маятника, ускорение силы тяжести.

Точное решение задачи приводит к эллиптическому интегралу. Так как нас интересует принципиальный ход решения подобных задач, ограничимся случаем малых углов отклонения и поэтому удовлетворимся приближением

При этом условии выражение (6.21) принимает вид

откуда получаем

Уравнение Лагранжа (5.2) в нашем случае записывается так:

Подставляя сюда выражения (6.24), получаем обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка

общим решением которого является

здесь — постоянные интегрирования. Отсюда находим частоту колебаний маятника

Покажем теперь, как решается эта задача в формализме Гамильтона. Для этого введем, согласно (6.4), обобщенный импульс р, используя второе равенство (6.24):

откуда

Применительно к нашему примеру функция Гамильтона (6.2) выглядит так:

Подставляя сюда выражение (6.23) для и выражение (6.29) для получаем функцию Г амильтона, записанную в ее истинных переменных:

Дифференцированием находим

Уравнения Гамильтона (6.9) принимают вид

Подстановка выражений (6.32) дает систему, состоящую двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:

Теперь надо решить эту систему. При этом можно использовать метод исключения, а именно исключить переменную р, что приведет к дифференциальному уравнению второго порядка (6.25).

Поскольку мы имеем дело с консервативной системой, т. е.

то, согласно (6.20), выполняется закон сохранения энергии