9.5. Теорема Якоби об определении траекторий

В разд. 8.1 мы были вынуждены оставить открытым вопрос о том, как практически использовать систему уравнений (8.12) для определения траекторий, поскольку действие, как правило, задается не в предполагавшихся там переменных. Теперь мы можем ответить на этот вопрос при помощи канонического преобразования, а именно показать, каким образом для этого можно применить действие в виде полного интеграла (8.23) (Якоби, 1834 г.).

Обратимся к случаю С. Соотношения (9.23) указывают, что функция связана с действием следующим образом:

Считая, что имеет вид (8.23), в силу свободы выбора новых канонических переменных положим

Тогда уравнения (9.23) запишутся так:

Второе из этих уравнений совпадает с уравнением (8.11); это, в частности, и навело на мысль о равенстве (9.41). Сравнивая третье уравнение с уравнением Гамильтона — Якоби (8.25), находим, что

Таким образом, новая функция Гамильтона тождественно равна нулю.

Выпишем теперь уравнения Гамильтона в новых переменных:

отсюда, в силу (9.44) следует, что

Вторые из этих равенств по существу совпадают с равенствами (9.42). Положив для удобства записи приводим

первые равенства (9.43) к виду

Проведя наше каноническое преобразование, мы, таким образом, добились того, что новые координаты и импульсы оказались постоянными величинами.

Содержание теоремы Якоби следует из уравнений (9.47), которые аналогично уравнениям (8.12) образуют систему уравнений, определяющую траектории. Практически это означает следующее: для того чтобы получить систему уравнений, описывающих траектории, надо найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби, продифференцировать его по независимым постоянным а к и приравнять частные производные новым постоянным