22.5. Полная вариация плотности лагранжиана

В настоящем разделе предшествующие соображения будут развиты применительно к плотности лагранжиана. Ограничимся и здесь плотностью лагранжиана первого порядка

Полная вариация этой плотности лагранжиана определяется так:

В соответствии с определением (22.41) отсюда следует

Разложение в ряд Тейлора дает

В силу равенств (22.42) и (22.29) величину можно выразить следующим образом:

Для получается аналогичное выражение:

Таким образом, выражение (22.49) для принимает вид

На следующем этапе мы выразим некоторые частные производные через вариационную производную, которая, согласно уравнению (19.12), определяется как

Для этого добавим к приведенному выше выражению два дополнительных члена, затем вычтем их и по мере надобности заменим два выражения одной вариационной производной. Эти выкладки, в частности, выглядят следующим образом:

откуда получается

В дальнейшем мы используем обозначения (20.1) и исключим производные при помощи соотношения

При этом величина запишется в виде

Выразив в соответствии с формулой (22.29) локальную вариацию через субстанциональную, получим

Преобразуем последний член по правилу дифференцирования произведения и учтем условие

Таким образом, для окончательно получается выражение

В частном случае чисто функциональной вариации отсюда следует, что

Интегрирование по фиксированному четырехмерному объему дает

Этот результат совпадает с уравнением (19.2), которое, таким образом, входит в формализм Нётер как частный случай. Следовательно, символ вариации в записи принципа Гамильтона в самом деле идентичен символу, использованному для функциональной вариации.