§ 3.7. Равномерная непрерывность функции
Пусть функция 
непрерывна на
отрезке 
(или
интервале, полуинтервале). Тогда для каждой точки 
этого отрезка (интервала,
полуинтервала) по заданному 
найдется 
такое, что
,
как только
.
При изменении 
при постоянном 
число 
, вообще говоря,
изменяется – оно зависит не только от , но и от . Как видно из рис. 29, число , пригодное на
участке с пологим графиком, может оказаться слишком большим для участка с круто
поднимающимся графиком.
Рис. 29
В связи с этим
естественно выделить те непрерывные функции, для которых при данном можно указать , пригодное сразу
для всех 
,
принадлежащих тому множеству, где задана функция.
Начнем с
определения.
О п р е д е л е
н и е 1. Функция , определенная на множестве 
, называется
равномерно непрерывной на этом множестве, если для всякого найдется , зависящее только
от 
,
такое, что
для всех 
, удовлетворяющих неравенству
.
Легко видеть,
что если функция равномерно непрерывна на множестве , то тем более она равномерно
непрерывна на любом его подмножестве 
. Обратное, вообще говоря, неверно.
Т е о р е м а
1. Если функция 
определена и непрерывна на отрезке , то она равномерно
непрерывна на нем.
Д о к а з а т е
л ь с т в о. Допустим, что теорема неверна. Тогда существует такое 
, что для любого найдется пара точек
,
удовлетворяющих неравенству , для которых
.
Зададим
стремящуюся к нулю последовательность положительных чисел 
. Для каждого 
найдутся точки 
такие, что
, но 
.
(1)
Так как
последовательности 
принадлежат к , то эта последовательность
ограничена и из нее по теореме Больцано-Вейерштрасса можно выделить
подпоследовательность 
, сходящуюся к некоторой точке 
. Так как 
, 
, то
подпоследовательность 
тоже сходится к точке . По условию функция
непрерывна
на 
и,
следовательно, непрерывна в точке . Конечно, если 
или 
, то надо считать, что непрерывна в справа или
соответственно слева. Поэтому
.
После перехода к
пределу в (1) при получим
,
(2)
и мы пришли к противоречию: 
.
Заметим, что в
(2) мы воспользовались непрерывностью функции 
(см. § 3.3, пример 8).
Теорема доказана.
П р и м е р 1. Функция
непрерывна на отрезке 
, поэтому на
основании теоремы 1 она равномерно непрерывна на этом отрезке.
С другой
стороны, на полуинтервале 
эта функция хотя и непрерывна, но не
является равномерно непрерывной. Это показывает, что требование в теореме 1,
чтобы непрерывная функция была задана на отрезке, а не на интервале,
существенно.
Убедимся в том,
что наша функция не является равномерно непрерывной на . Точки 
, очевидно, принадлежат полуинтервалу
, и для
них
.
Если задать 
, то при любом найдется такое 
, что
,
между тем как
.
Из сказанного
следует, что нашу функцию нельзя продолжить на отрезок 
, доопределив ее в точке 
так, чтобы она
стала непрерывной на , потому что тогда, согласно теореме 1,
она была бы равномерно непрерывной на , а следовательно, и на , чего быть не
может.
