2.3. КОЛЬЦА

Следующей необходимой нам алгебраической структурой является кольцо. Кольцо представляет собой абстрактное множество, которое является абелевой группой и наделено дополнительной структурой.

Определение 2.3.1. Кольцом называется множество с двумя определенными на нем операциями: первая называется сложением (обозначается вторая называется умножением (обозначается соседним расположением), причем имеют место следующие аксиомы:

1) относительно сложения является абелевой группой;

2) замкнутость: произведение принадлежит для любых из

3) закон ассоциативности:

4) закон дистрибутивности:

Сложение в кольце всегда коммутативно, а умножение не обязательно должно быть коммутативным. Коммутативное кольцо — это кольцо, в котором умножение коммутативно, т. е. для всех из

Закон дистрибутивности в определении кольца связывает операции сложения и умножения. Этот закон имеет несколько непосредственных следствий, как, например, приведенная ниже теорема.

Теорема 2.3.2. Для произвольных элементов в кольце

Доказательство.

Вычитая из обеих частей равенства получаем Вторая часть утверждения (i) доказывается аналогично.

Следовательно,

Вторая часть утверждения (ii) доказывается аналогично.

Операция сложения в кольце имеет единичный элемент, называемый нулем. Операция умножения не обязательно имеет единичный элемент, но если он есть, то является единственным. Кольцо, обладающее единственным элементом относительно умножения, называется кольцом с единицей. Этот единичный элемент называется единицей и обозначается символом Тогда для из имеет место равенство

Относительно операции сложения каждый элемент кольца имеет обратный. Относительно операции умножения элемент, обратный данному элементу, не обязательно существует, но в кольце с единицей обратные элементы могут существовать. Это означает, что для данного элемента а может существовать элемент такой, что Если это так, то называется правым обратным к а. Аналогично если существует элемент с, такой, что то с называется левым обратным к а.

Теорема 2.3.3. В кольце с единицей

(i) единица единственна;

(ii) если элемент а имеет как правый обратный так и левый обратный с, то элемент а называется обратимым.

причем обратный ему элемент является единственным (и обозначается через );

Доказательство. Рассуждения аналогичны проведенным при доказательстве теоремы

Обратимый элемент кольца называется единицей. Множество всех единиц в кольце замкнуто относительно умножения, так как если единицы, то имеет обратный элемент, равный

Теорема 2.3.4.

(i) Множество единиц кольца образует группу относительно умножения в кольце.

(ii) Если и с — единица, то а имеет привый обратный, левый обратный элементю

Доказательство. Непосредственная проверка.

Имеется много известных примеров колец, и ниже приводятся некоторые из них. Представляется поучительным проиллюстрировать этими примерами теоремы 2.3.3 и 2.3.4.

1. Множество всех вещественных чисел образует коммутативное кольцо с единицей относительно обычных сложения и умножения. Каждый ненулевой элемент кольца является единицей.

2. Множество всех целых чисел (положительных, отрицательных и нуля) образует коммутативное кольцо с единицей относительно обычных сложения и умножения. Это кольцо принято обозначать через его единицами являются только ±1.

3. Множество всех квадратных -матриц, элементами которых яаляются вещественные числа, образует некоммутативное кольцо с единицей относительно матричного сложения и умножения. Единицей является единичная -матрица. Единицами в кольце служат все невырожденные матрицы.

4. Множество всех квадратных -матриц, элементами которых являются целые числа, образует некоммутативное кольцо с единицей относительно матричного сложения и умножения.

5. Множество всех многочленов от х с вещественными коэффициентами образует коммутативное кольцо с единицей относительно сложения и умножения многочленов. Единицей кольца является многочлен нулевой степени