15.4. МЯГКОЕ ДЕКОДИРОВАНИЕ СВЕРТОЧНЫХ КОДОВ

Использование информации мягкого решения может облегчить декодирование и сверточных кодов. В нашем распоряжении имеются вариант мягкого решения алгоритма Витерби к варианты

мягкого решения алгоритмов последовательною декодирования. Отложим изучение последовательного декодирования до следующего параграфа, а в настоящем параграфе займемся алгоритмом Витерби с демодулятором с мягким решением. Затем изучим сверточные коды Унгербека, имеющие большое евклидово свободное расстояние; поэтому они полезны для каналов, ограниченных по полосе. Кочьг Унгербка больше подходят для каналов, ограниченных по полосе, чем коды, построенные из соображений возможно большего хэммингова свободного расстояния.

Алгоритм Витерби отыскивает на решетке путь, ближайший к принятому слову. Расстояние принятого слова от пути на решетке определяется как сумма расстояний вдоль последовательных ребер. Мера расстояний выбирается произвольно, за исключением того, что она должна удовлетворять требовапию аддитивности. Поэтому, хотя алгоритм Витерби, введенный в § 12.8, использует хэммингово расстояние, тот же алгоритм применим и при любом другом определении расстояния. Не является даже необходимым, чтобы расстояние было метрикой. Алгоритм Витерби хорошо использовать в тех случаях, когда шум в канале стационарен и легко моделируется. Пусть условная вероятность того, что на выходе демодулятор а наблюдается символ при условии, что на вход канала поступил символ с. Даже если с выбран из дискретного алфавита малого объема, демодулятор мягкого решения может иметь для больший алфавит — быть может, непрерывный алфавит или алфавит двоичных чисел из битов. Возьмем некоторый кадр принятого слова. Он состоит из компонент, обозначаемых через Выберем некоторое ребро решетки. Оно состоит из «0 компонент кодового слова, обозначаемых через Расстояние кадра кодового слова с от соответствующего кадра принятого слова определяется логарифмической функцией правдоподобия

Эта функция, называемая метрикой ребра (или метрикой пути), озчацаег свойствами расстояния, хотя и не является истинной метрикой.

Декодер Витерби с мягким решением аналогичен декодеру Витерби с жестким решением, но только вместо хэммингова расстояния он использует новую метрику пути. При каждой итерации каждый выживший путь, ведущий в кажпый узел, продолжается всеми возможными способами в узлы следующего уровня с прибавлением метрик ребер к общей накопленной метрике пути. Выживший в кажцом новом узле путь сохраняется, а остальные пути отбрасываются. Поэтому сложность декодера

Витерби возрастает очень мало при ею перестройке на мяжос решение.

Если входные символы канала - вещественные или комплексные числа, а шум в канале — аддитивный гауссовский независимый, то

Для гауссовското канала максимизация логарифмической функции правдоподобия эквивалентна минимизации евклидова расстояния. В качестве метрик ребер используем евклидово расстояние

На практике во многих каналах с мягким решением, не являющихся гауссовскими, неизвестно, но евклидово расстояние по-прежнему используется для вычисления метрик ребер. Соответствующий декодер является декодером по минимуму евклидова расстояния. Он не является декодером максимального правдоподобия, но практичен. Алгоритм Витерби с мягким решением выглядит совершенно аналогично алгоритму Витерби с жестким решением, но хэммннгово расстояние заменено в нем евклидовым.

Рассмотрим сверточные коды, использующие вещественные или комплексные алфавиты из символов, где некоторое целое число. Типичные сигнальные алфавиты представлены на рис. 15.1. Каждый алфавит — это дискретное множество символов, выбираемых или из поля вещественных чисел, или из ноля комплексных чисел. Сигнал представляет собой последовательность этих вещественных или комплексных чисел.

Каждый сигнал из набора сигналов будет использоваться для представления одного из ребер двоичного сверточного -кода. Наборы сигналов на рис. 15.1 обеспечивают кодирование байтов, в которые входят от 2 до 6 битов. Информационный байт меньше кодового байта. На протяжении кадра информационные байты поступают в кодер. Один из байтов кодового слова (какой именно — это зависит от текущего состояния кодера) передается по каналу в виде комплексного числа, а кодер переходит в новое состояние.

Пусть сверточный код над комплексным полем С. Евклидово расстояние между двумя кодовыми словами (с комплексными компонентами соответственно) определяется формулой

Рис. 15.6. Простой пример кодирования, а — четверичный набор ФТ-модулированных сигналов при отсутствии кодирования; б - восьмеричный набор ФТ-модулированных сигналов; в — решетка для сверточного -кода.

Евклидово свободное расстояние обозначаемое через определяется как минимум евклидовых расстояний всех возможных пар кодовых слов из Евклидово свободное расстояние является подходящим расстоянием для измерения кодовых характеристик в гауссовском канале. Это следует из того, что в гауссовском канале вероятность ошибки асимптотически удовлетворяет неравенству

где а — среднеквадратичное отклонение шума, интеграл гауссовского распределения, число кодовых слов на

расстоянии от слова, целиком состоящего из нулей. Следовательно, увеличение грубо говоря, эквивалентно уменьшению о. Вот почему увеличение свободного расстояния мы называем выигрышем сверточного кода.

Евклидово свободное расстояние часто измеряется в децибелах; эта мера определяется соотношением

Асимптотический выигрыш кодирования определяется формулой

где минимальное евклидово расстояние между незакодированными соответствующими сигналами той же мощности.

На рис. 15.6 представлен простой пример. Сверточный код определяется восьмеричным набором ФТ-модулированных сигналов и решеткой в кодере. Он представляет собой -код со скоростью 2/3. Пример несистематического кодера представлен на рис. 15.7, а. Соответствующий код может также использоваться как систематический, если рассматривать второй и третий биты в каждом кадре как информационные Однако для реализации кода в систематической форме надо ввести в кодере обратную

Рис. 15.7. Кодеры для сверточного -кода. а — кодер с регистром сдвига, не использующий обратную связь; б - кодер с регистром сдвига, использующий обратную связь.

связь, как показано на рис. 15.7, б. Символ кодового слова содержит лишь два бита информации, а может принимать восемь различных значений. На рис. 15.6, в легко видеть, что минимальный вес имеет путь ему соответствует кодовое слово, находящееся на минимальном расстоянии от кодового слова,

Рис. 15.8. (см. скан) Некоторые коды для восьмеричного канала с ФТ-модуляцией.

Рис. 15.9. (см. скан) Таблица кодов Унгербека

целиком состоящего из нулей. Минимальное расстояние кода равно На рис. 15.6, а представлен -ичный ФТ-модулированный набор для соответствующих незакодированных сигналов той же мощности. Выигрыш кодирования равен или так как определяет евклидово свободное расстояние для незакодированных сигналов, изображенных на рис. 15.6, а. Как показывает выигрыш, кодирование приводит к небольшому улучшению, что является неожиданным для такого простого кода. Однако первый из изображенных на рис. 15.8 кодов, -код, приводящий к выигрышу уже в лишь немного сложнее, и поэтому следует отдать предпочтение ему.

Для нахождения более сложных кодов в общем случае требуется использовать ЭВМ, но даже при этом поиск должен быть разумно организован, иначе он станет практически невозможным. На рис. 15.8 приведены примеры трех кодов. Изображены решетки этих кодов, и в каждом случае выделен путь, на котором достигается евклидово свободное расстояние.

На рис. 15.9 предстаалсна таблица кодов Унгербёка со скоростью 2/3 для восьмеричных наборов ФТ-сигналов и для восьмеричных наборов АФМ-сигналов. Сверточные коды описываются своими матрицами проверочных многочленов. Здесь удобнее использовать проверочные многочлены вместо порождающих, поскольку скорость кода больше 1/2 и систематический кодер с обратной связью легче строить, исходя из проверочных многочленов.

Любой из представленных на рис. 15.9 кодов Унгербёка может быть использован для замены обычно используемого четырехуровневого ФТ-модулятора. Информационная скорость по-прежнему остается равной 2 бита на символ. Посимвольная скорость не изменяется, и поэтому кодовая система использует ту же полосу, что и система без кодирования, и передает то же число битов на символ. Поэтому пользователь системы даже не знает о наличии кодирования. Однако система может использоваться при меньшем отношении сигнал/шум — код при длине кодового ограничения 9 дает выигрыш 5,7 дБ.