7.3. КОДЫ РИДА СОЛОМОНА

Важным и широко используемым подмножеством кодов БЧХ являются коды Рида-Соломона. Это такие коды БЧХ, у которых мультипликативный порядок алфавита символов кодового слова делится на длину кода. Таким образом, и поле символов совпадает с полем локаторов ошибок Обычно мы будем выбирать а примитивным; тогда

Минимальный многочлен над элемента взятого из того же поля, равен

Поскольку поле символов и поле локаторов ошибок совпадают, все минимальные многочлены линейны. В коде Рида-Соломона, исправляющем ошибок, обычно полагается и тогда порождающий многочлен записывается в виде

Степень этого многочлена всегда равна , откуда следует, что параметры кода Рида-Соломона связаны соотношением

В коде Рида-Соломона можно выбрать также любое другое значение причем с помощью разумного выбора иногда удается упростить кодер. Таким образом,

В качестве примера найдем для -кода Рида-Соломона с над Может быть выбрано любое мы выберем Тогда

(Здесь нснользовано приведенное в табл. 7.1 представление элементов поля в виде мноючленов от ) Поскольку

степень равна Информационный многочлен представляет собой последовательность одиннадцати символов из что эквивалентно 44 битам.

В качестве второго примера найдем для -кода Рида-Соломона с над Может быть выбрано любое мы выберем Тогда

(здесь использовано представление элементов поля в виде многочленов от ) Информационный многочлен представляет собой последовательность трех восьмеричных символов (что эквивалентно девяти битам). Предположим, что

Кодовое слово несистематического кода запишется в виде

что представляет собой последовательность семи восьмеричных символов.

Коды Рида-Соломона являются оптимальными в смысле границы Синглтона.

Теорема 7.3.1. Код Рида-Соломона имеет минимальное расстояние и является кодом с максимальным расстоянием.

Доказательство. Пусть конструктивное расстояние кода. Минимальное расстояние удовлетворяет неравенству

поскольку для кодов Рида-Соломона . Но для любого линейного кода имеет место граница Синглтона

Следовательно,

Доказанная теорема утверждает, что при фиксированных не существует кода, у которого минимальное расстояние больше, чем у кода Рида-Соломона. Этот факт часто является веским основанием для использования кода Рида-Соломона. Не стоит, однако, понимать это утверждение буквально. Часто предпочтение отдается кодам с такими параметрами

при которых не существует кода Рида-Соломона. В то же время коды Рида-Соломона всегда оказываются короче всех других циклических кодов над тем же алфавитом.