9.4. ДЕКОДИРОВАНИЕ РАСШИРЕННЫХ КОДОВ БЧХ

Теперь мы можем описать декодирование расширенных на два символа кодов БЧХ, определенных в § 8.5. Если конструктивное расстояние с! кода является нечетным числом, то представленный в расширении поля код со своими хвостами образует подкод кода Рида-Соломона, и можно использовать уже описанный декодер для расширенного на две позиции кода Рида-Соломона. Если конструктивное расстояние кода четно, то к одному из хвостов добавим проверку на четность. Пока еще без доказательства мы утверждаем, что эта процедура приводит к коду, минимальное расстояние которого не меньше Докажем этот факт, выписав соответствующий алгоритм декодирования. Декодер аналогичен декодеру для расширенного на два символа кода Рида-Соломона.

Теорема 9.4.1. Расширение на два символа двоичного кода БЧХ с четным конструктивным расстоянием при использовании дополнительной проверки на четность на одном из хвостов приводит к коду, минимальное расстояние которого равно по меньшей мере

Доказательство. Пусть Построим декодер, исправляющий ошибок. В нашем распоряжении имеются компонент внутреннего синдрома и две граничные компоненты синдрома которые правильны, если граничные символы не содержат ошибки. По предположению конструктивное расстояние является четным числом, а в силу ограничений сопряженности числа должны быть нечетными. Эти требования выполняются только в том случае, когда Следовательно, ограничения сопряженности гарантируют также, что так как частоты являются четными. Следовательно, мы имеем еще две компоненты синдрома, а именно

Так как дополнительно содержит проверку на четность, то можно определить, четно или нечетно число произошедших

в этом хвосте ошибок. Предположим, что эта проверка на четность указывает на ошибку. Тогда во внутреннем векторе содержится не более ошибок. У нас имеется внутренних компонент синдрома. Это позволяет исправить и обнаружить ошибок во внутреннем векторе. Если во внутреннем векторе обнаружено ошибок, то символ ошибок не содержит, величина является правильной и может быть использована для еще одной итерации при вычислении многочлена локаторов ошибок. Это завершает декодирование в случае, когда проверка на четность в символе указывает ошибку.

В противном случае, когда проверка на четность в символе не указывает ошибки, в этом хвосте имеется четное число ошибок. Тогда для исправления ошибок во внугреннем векторе выполним, начннан с итераций алгоритма Берлекэмпа-Месси (используя тем самым компонент внутреннего синдрома) и зарезервируем остальные три итерации для обнаружения или меньше ошибок во внутреннем векторе. Если ошибки не исправились, то внутренний вектор содержит или или ошибок, и, следовательно, граничные символы содержат не более двух ошибок. Следовательно, либо правилен, либо содержит две ошибки, правилен.

Хотя бы одна из граничных компонент синдрома правильна. Присоединим или к одному копну внутреннего синдрома и или к другому концу. Это даст нам два синдрома с компонентами, хотя бы одни из которых правилен. Для каждого из синдромов воспользуемся алгоритмом Берлекэмпа-Месси для исправления и обнаружения I ошибок во внутреннем пекторе. Если во внутреннем векторе содержится ошибок, то оба синдрома должны указать на это, и в таком случае граничные символы не искажены. Если одна или обе попытки декодирования не обнаруживают во внутреннем векторе I ошибок, то в нем содержится не более ошибок и тогда вычисленный многочлен локаторов ошибок является правильным и позволяет завершить декодирование.

Наконец, если во внутреннем векторе обнаружено ошибок, то в граничных символах ошибок нет и в нашем распоряжении имеются компонент синдрома, позволяющих исправить ошибок.