3.6. ПРОСТЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНОГО КОДА

Существует набор простых преобразований, которые, незначительно изменяя исходный линейный код, приводят к новому коду Если новый код также оказывается линейным, то эти преобразования соответствуют небольшим изменениям порождающей

матрицы например, можно добавить в эту матрицу столбец или строку, выбросить из нее столбец или строку, добавить одновременно столбец и строку, выбросить одновременно столбец и строку. Все эти изменения кода легко описать, хотя может оказаться, что непросто найти такое преобразование, которое необходимо в каждом конкретном случае.

Длину кода можно увеличить за счет увеличения к или . Мы будем называть такие преобразования удлинением и расширением кода соответственно и объединим оба этих понятия более общим понятием увеличения кода Под увеличением кода мы понимаем увеличение длины или за счет расширения, или за счет удлинения. Шесть основных преобразований кода выглядят следующим образом.

Расширение кода. Увеличение длины путем добавления новых проверочных символов, что приводит к возрастанию большего размера порождающей матрицы.

Удлинение кода. Увеличение длины кода путем добавления новых информационных символов, что приводит к увеличению обоих размеров порождающей матрицы на одно и то же число.

Выкалывание кодовых координат. Уменьшение длины кода удалением проверочных символов, что приводит к уменьшению большего размера порождающей матрицы.

Укорочение кода. Уменьшение длины кода удалением информационных символов, что приводит к уменьшению обоих размеров порождающей матрицы на одно и то же число.

Пополнение кода. Увеличение числа информационных символов без увеличения длины кода, что приводит к увеличению меньшего размера порождающей матрицы.

Код с выбрасыванием. Уменьшение числа информационных символов без изменения длины кода, что приводит к понижению меньшего размера порождающей матрицы.

Указанные преобразования можно использовать для модификации известных кодов, чтобы сделать их подходящими для каких либо конкретных приложений, а также для получения новых классов хороших кодов.

Любой двоичный -код с нечетным минимальным расстоянием можно расширить до -кода добавлением к каждому кодовому слову суммы всех его компонент в качестве проверки на четность Так происходит потому, что в случае, когда исходное слово имеет нечетный вес, к нему будет добавляться единичный символ. Следовательно, все кодовые слова веса становятся кодовым» словами веса Если

проверочная матрица исходного кода, то расширенный код будет иметь проверочную матрицу

В частности, каждый -код Хэмминга может быть расширен до -кода, исправляющего одиночные ошибки и обнаруживающего двойные ошибки; обычно этот код также называется кодом Хэмминга.

Можно ироизвести и редукцию кода, переходя к коду над меньшим полем. Из некоторого кода над полем выберем все слова с координатами из нодполя Получившийся код называется подходом над подпаяем исходного кода. Если исходный код является линейным, то подкод над подполем также линеен, но не является подпространством исходного кода. Это происходит потому, что подпространство должно содержать все возможные произведения кодовых слов на элементы поля Подкод над подполем является линейным потому, что над подполем все линейные комбинации кодовых слов будут оставаться в подкоде над подполем. Любое множество базисных векторов в подкоде над подполем является линейно независимым также и в поле и поэтому размерность исходного поля не меньше размерности подкода над подполем. Обычно, однако, исходный код имеет большую размерность; подкод над подполем имеет меньшую скорость, чем исходный код.