4.5. ПРИМИТИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ

В предыдущем параграфе было построено поле На рис. 4.2 видно, что элемент поля, представляемый многочленом х, можно выбрать как бы в качестве некоторого основания логарифмов. За исключением нуля, все элементы поля могут быть представлены в виде степени элемента х.

Определение 4.5.1. Примитивным элементом поля называется такой элемент а, что все элементы поля, за исключением нуля, могут быть представлены в виде степени элемента а.

Например, в поле так что 2 является примитивным элементом поля Примитивные элементы полезны при построении полей, так как если один из них найден, то, перемножая степени этого примитивного элемента, можно построить таблицу умножения в поле. В данном пара! рафе будет доказано, что каждое ноле содержит примитивный элемент.

Поле образует абелеву группу двояким способом. Множество всех элементов поля образует абелеву группу по сложению, и множество всех элементов поля, исключая нуль, образует абелеву группу но умножению. Мы будем работать с группой по умножению. Согласно теореме 2.2.5, порядок этой группы делится на порядок каждого ее элемента.

Теорема 4.5.2. Пусть ненулевые элементы поля тогда

Доказательство. Множество ненулевых элементов поля образует конечную группу по умножению. Пусть какой-либо ненулевой элемент из и пусть А — порядок этого элемента по умножению. Тогда, согласно теореме делит Следовательно,

так что является корнем многочлена

Теорема 4.5.3. Группа ненулевых элементов поля по умножению является циклической.

Доказательство. Если число простое, то теорема тривиальна, ибо порядок всех элементов, за исключением нуля и единицы, равен так что каждый такой элемент примитивен. Доказывать теорему надо только для составного числа Рассмотрим разложение числа на простые множители:

Так как поле, то среди его ненулевых элементов должен найтись хотя бы один, не являющийся корнем многочлена поскольку этот многочлен может иметь не более корней. Следовательно, для каждого можно найти такой ненулевой элемент поля что Пусть и пусть Докажем,что порядок равен и, следовательно, группа является циклической.

Шаг Порядок элемента равен Доказательство. Очевидно, что так что порядок элемента делит равен числу вида Если меньше то Но следовательно, порядок элемента равен

Шаг 2. Порядок элемента равен Доказательство. Предположим, что Покажем сначала, что из этого следует равенство для всех Для каждого можно записать

Заменяя на и используя равенство находим

Таким образом,

Поскольку являются различными простыми числами, то для каждого Следовательно, Теорема доказана.

Эта теорема дает важнейший ключ к пониманию структуры полей Галуа, а именно следующее утверждение.

Теорема 4.5.4. В каждом поле Галуа имеется примитивный элемент.

Доказательство. Так как ненулевые элементы поля образуют циклическую группу, то среди них имеется элемент порядка Этот элемент является примитивным.

Использование примитивного элемента для умножения в ноле иллюстрируется следующими примерами.

В поле порядок каждого ненулевого элемента делит 7. Так как — простое число, то каждый элемент, за исключением нуля и единицы, имеет порядок, равный , и, следовательно, примитивен. Поле можно построить с помощью многочлена

Основываясь на примитивном элементе а имеем

В таком представлении умножение выполняется легко; например,

Порядок каждого элемента в поле делит 15. Элемент может иметь порядок 1, 3, 5 или 15. Поле можно построить с помощью многочлена и примитивного элемента имеем

В таком представлении поля умножение опять просто; например,

При построении расширения поля в виде множества многочленов удобно, чтобы многочлену х соответствовал примитивный

элемент поля. В этом случае в таблице умножения можно использовать х в качестве основания логарифмов, и это самое простое из возможных оснований. Такое построение поля можно осуществить с помощью простых многочленов специального частного вида, называемых примитивными.

Определение 4.5.5. Примитивным многочленом над полем называется простой многочлен над такой, что в расширении поля, построенном по модулю соответствующий многочлену х элемент поля является примитивным.

Для каждого поля Галуа существуют примитивные многочлены всех степеней, но доказательство этого результата мы откладываем до конца следующего параграфа. Предваряя этот результат, можно сказать, что примитивный многочлен представляет собой простой многочлен, корнем которого является примитивный элемент поля.