12.4. МАТРИЧНОЕ ОПИСАНИЕ СВЕРТОЧНЫХ КОДОВ

Сверточный код состоит из бесконечного числа кодовых слов бесконечной длины. Он линеен и может быть описан бесконечной порождающей матрицей. Для описания каждого кода может быть использовано огромное количество порождающих матриц, но удобно оперировать только некоторыми из них. Даже в лучшем случае порождающая матрица сверточного кода более громоздка, чем порождающая матрица блокового кода.

Порождающие многочлены, имеющие индексы могут быть записаны в виде

Для построения порождающей матрицы коэффициенты упорядочиваются в виде матрицы. Пусть при каждом является -матрицей:

Тогда порождающая матрица сверточного кода, усеченного до блокового кода длины записывается в виде

где символом 0 обозначена -матрица, целиком состоящая из нулей. Порождающей матрицей сверточного кода является матрица

бесконечно продолжающаяся вниз и вправо. За исключением диагональной полосы, состоящей из ненулевых подматриц, все ее подматрицы являются нулевыми.

В случае систематического сверточного кода эти две матрицы могут также быть записаны в виде

и

где каждая строка получается сдвигом предыдущей строки вправо, а необозначенные матричные элементы справа и слева от нее равны нулю. Через 1 обозначена единичная -матрида, через — матрица того же размера, состоящая из одних нулей, а через матрицы размера Первая строка описывает кодирование первого информационного кадра в первые кадров кодового слова. Структура этого матричного выражения соответствует работе регистра сдвига кодера.

Первый информационный кадр кодируется в первый кадр кодового слова элементом, находящимся в левом верхнем углу матрицы а именно элементом

Аналогично два первых информационных кадра кодируются в два первых кадра кодового слова по правилу

Проверочной матрицей является любая матрица удовлетворяющая условиям

где стоящие в левых верхних углах матриц подматрицы, соответствующие I кадрам. Бесконечномерная проверочная матрица может быть построена по В качестве проверочной выберем матрицу

где, как и ранее, все иеобозначенныс элементы являются нулевыми.

Пример. Систематический двоичный сверточный -код описывается матрицами и размера 1X1. Следовательно,

и

Пример. Систематический двоичный сверточный -код с задается матрицами Следовательно,

и