4.2. КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ, ОСНОВАННЫЕ НА КОЛЬЦЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ

Имеется очень важная конструкция, позволяющая по заданному кольцу построить новое кольцо, называемое кольцом отношений. В случае произвольного кольца для построения кольца отношений строятся смежные классы, однако в случае кольца целых чисел кольцо отношений строится просто. В некоторых случаях это построение приводит к полям (в случае, когда кольцо является областью целостности).

Определение 4.2.1. Пусть положительное целое число. Кольцом отношений, именуемым также кольцом целых чисел по модулю и обозначаемым через называется множество с операциями сложения и умножения, определяемыми равенствами

Элементы, обозначенные через принадлежат как так и Пожалуй, лучше под элементами из понимать не первые элементов из а некоторые другие объекты, обозначенные таким же образом. Произвольный элемент а из можно отобразить в полагая Два элемента из отображаемые в один элемент из сравнимы по модулю для некоторого целого

Теорема 4.2.2. Кольцо отношений является кольцом.

Доказательство предоставляется читателю в качестве упражнения.

Как показывают примеры из § 2.4, арифметику нолей и можно описать как сложение и умножение по модулю 2 и 3 соответственно, а арифметику в поле так описать нельзя. Таким образом, в принятой нами символике Общий результат дается следующей теоремой.

Теорема 4.2.3. Кольцо отношений является полем тогда и только тогда, когда равно простому числу.

Доказательство. Предположим, что простое число. Для доказательства того, что кольцо является полем, надо показать, что каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный

обратный. Пусть ненулевой элемент кольца; тогда Так как просто, то и в силу следствия 4.1.4

для некоторых Таким образом,

Следовательно, элемент является мультипликативным обратным элементу относительно операции умножения но модулю

Теперь допустим, что составное число. Тогда Если данное кольцо представляет собой поле, то имеет обратный элемент и поэтому

Но так что мы получили противоречие. Следовательно, рассматриваемое кольцо не является полем. В случае когда кольцо отношений образует поле, оно также обозначается через чтобы подчеркнуть тот факт, что оно является полем.