15.2. ЭНЕРГИЯ НА БИТ И ЧАСТОТА ОШИБОК НА БИТ

Цифровая система связи включает кодер и модулятор на передающем конце и демодулятор и декодер на приемном конце. Качество такой системы частично характеризуется вероятностью ошибки на бит, которая также называется частотой ошибок на бит (ЧОБ) В фиксированной цифровой системе связи, передающей дискретные данные по каналу с аддитивным гауссовским шумом, частота ошибок на бит всегда может быть уменьшена путем увеличения мощности передатчика, которая также является одной из характеристик качества цифровой системы связи. Лучшей из двух цифровых систем связи считается та система, которая достигает желаемой частоты ошибок на бит при меньшей передаваемой мощности передатчика.

Для сообщений конечной длины, состоящих из К информационных битов и имеющих энергию сообщения энергия приходящаяся на бит, определяется отношением

Вообще говоря, энергия на бит это не та энергия, которая может быть найдена по отдельной части сообщения, и не та энергия, которая может быть измерена. Она вычисляется по энергии всего сообщения. Определение включает также число битов на входе блока кодер/модулятор. Если же рассматривать вход канала, то можно обнаружить сигналы, построенные так, что число символов в них, воспринимаемых как символы канала, будет больше. Эти дополнительные символы могут быть

проверочними символами, служащими для исправления ошибок, символами кадровой синхронизации или символами канального протокола. Эти символы не несут передаваемой информации. Для вычисления используются лишь информационные биты.

Для сообщений бесконечной длины, передаваемых с постоянной скоростью информационных величина определяется отношением

где средняя мощность сообщения.

Кроме сообщения в приемник поступает и белый шум с односторонней спектральной плотностью Ясно, что условия приема сигнала не изменятся, если удвоить и сигнал, и шум: на частоту ошибок на бит влияют только отношения или Для сравнения двух различных схем передачи сигналов исследуются графики зависимостей их от требуемых отношений

Как это ни удивительно, можно точно сформулировать утверждение относительно значений при которых существуют хорошие сигналы. Исходным понятием для вывода границ является шенноновская пропускная способность канала. Нам необходима лишь формула пропускной способности канала с аддитивным гауссовским шумом. Она утверждает, что, каков бы ни был сигнал мощности со спектром обращающимся в нуль при передача по каналу с аддитивным белым гауссовским шумом с произвольно малой частотой ошибок на бит возможна лишь в том случае, когда в секунду передается не более

битов. Обратно, всегда существует сигнал который позволяет сколь угодно близко приблизиться к этой скорости передачи и к этому ограничению по полосе, как мала ни была бы требуемая частота ошибок на бит. Эта знаменитая формула, которая выводится в любом учебнике по теории информации, дает критерий для оценки цифровой системы связи.

Теорема 15.2.1. В любой цифровой системе связи, передающей информацию на фоне белого гауссовского шума спектральной плотности необходимо, чтобы энергия на бит удовлетворяла неравенству

измеряется в джоулях, в ваттах на герц.

Доказательство. Ширина полосы в теореме не ограничена. Заменим в формуле Шеннона для пропускной способности на и устремим к бесконечности. Тогда

откуда непосредственно следует утверждение теоремы.

Если отношение измеряется в децибелах, то наше неравенство переписывается в виде

так что значение устанавливает нижний предел для допустимого отношения Экспериментально установлено, что при отношении приблизительно равном или большем выбор сигнала, обеспечивающего малую частоту ошибки на бит, не представляет труда. Следовательно, проблема выбора сигнала возникает лишь в том случае, когда отношение лежит между этими двумя числами и ширина области составляет примерно Для этой области и производится сравнение структур сигналов, выбираемых для канала с гауссовским шумом.

В случае когда предоставляется лишь ограниченная ширина полосы, требования на энергию становится жестче. Определим спектральную скорость в битах (измеряемую в битах в секунду на герц) как

Спектральная скорость в битах и представляют собой две важнейшие характеристики цифровой системы связи.

Теорема 15.2.2. Пусть спектральная скорость в битах для некоторой цифровой системы связи. Тогда

Более того, можно так сконструировать систему передачи, чтобы она обеспечивала надежную передану при любом положительном

Доказательство. Из формулы Шеннона для пропускной способности вытекает, что при любом положительном может быть

Рис. 15.2.

достигнута скорость передачи информации удовлетворяющая неравенству

Отсюда непосредственно следует утверждение теоремы.

Последняя теорема утверждает, что возрастание скорости передачи в битах на единицу полосы увеличивает требуемую энергию на один бит. Она является основой соотношений между энергией и шириной полосы в цифровой теории связи, где возрастание ширины полосы при фиксированной скорости передачи информации может ослабить энергетические требования.

Утверждение теоремы 15 2.2 иллюстрируется рис 15 2. Любая система связи может быть описана точкой, лежащей ниже приведенной кривой, и для любой точки ниже этой кривой можно сконструировать систему связи, у которой частота ошибки на бит может быть сделана настолько малой, насколько это желательно. История цифровой связи в какой-то степени предстааляет собой серию попыток приблизить системы к этой предельной кривой, сохраняя очень низкую частоту ошибок на бит. Такие системы используют как модемную технику, так и методы исправления ошибок.

В некоторых цифровых системах связи водораздел между модемом и кодеком четко не обозначен. Демодулятор передает дополнительную информацию, которая помогает декодеру улучшить его характеристики. Это можно сделать многими способами. Например, в двоичном канале можно использовать приемник, у которого каждому принятому биту соответствует выходной

сигнал из трех бит. Он называется обнаружителем с мягким решением. Комбинация, состоящая из трех нулей, соответствует тому, что «уверенно» был принят нуль, а комбинация, состоящая из трех единиц, соответствует «уверенному» приему единицы. Другие комбинации трех двоичных символов соответствуют различным степеням неопределенности в приемнике. Для улучшения декодирования декодер может использовать эти мягкие решения. Мы уже знакомы с простейшим вариантом мягких решений — двоичным стирающим каналом. Три значения выходного сигнала приемника могут быть обозначены через 10 (жесткий нуль), 01 (жесткая единица) и 00 (стирание).

Другим примером мягкого решения является списочное декодирование в -ичном канале. Вместо одного наиболее вероятного значения каждого символа демодулятор выдает два или три наиболее вероятных значения, иногда приписывая каждому из них некоторую вероятностную меру.

Конечно, если код фиксирован, то декодеры, использующие информацию мягкого решения, имеют, вообще говоря, лучшие характеристики; поэтому можно выбирать декодер, исходя из этих соображений. Однако такой подход не является бесспорным. Прежде всего системы с мягким решением достигают своих потенциальных возможностей только в том случае, когда статистика шума в канале достаточно стационарна и достаточно хорошо поддается моделированию. Если же шум прерывистый и переменный во времени или недостаточно хорошо известен, то следует предпочесть жесткое решение или жесткое решение со стиранием. Кроме того, декодер с мягким решением дороже. Если стоимость системы фиксирована, то длина кода, используемого с декодером с мягким решением, меньше, чем кода, используемого с декодером с жестким решением. Следовательно, декодер с мягким решением не обязательно является лучшим. Декодер с жестким решением может иметь лучшие характеристики, чем декодер с мягким решением, использующий код, у которого длина меньше. Иногда система с мягким решением лучше удовлетворяет практическим требованиям. В других случаях лучше использовать систему с жестким решением, так как она позволяет использовать более мощный код. Выбор той или иной возможности является трудной инженерной задачей, которую нельзя правильно решить, исходя лишь из теоретических соображений.