5.4. МАТРИЧНОЕ ОПИСАНИЕ ЦИКЛИЧЕСКИХ КОДОВ
Эту главу мы начали кратким обсуждением связи проверочной матрицы с корнями многочленов, лежащими в расширении поля. В следующих параграфах, в которых рассматривались циклические коды, проверочным матрицам уделялось мало внимания. А сейчас самое время заняться связью циклических кодов с их порождающими и проверочными матрицами.
Имеется много способов формирования этих матриц. Прежде всего проверочную матрицу можно формировать в расширении ноля так, как это было сделано в § 5.1. Если нулями
являются элементы
при
то
рассмотрим величины
в силу равенства
равные пулю при
Но тогда
и, следовательно, так определенная матрица
действительно является проверочной матрицей. Теперь видно, что дуальный код
для циклического кода с порождающим многочленом
также является циклическим, гак как
представляет собой его порождающую матрицу и имеет вид порождающей матрицы циклического кода. Порождающий многочлен дуального кода равен взаимному к
многочлену
Иногда при рассмотрении циклических кодов дуальным называют код, порожденный многочленом
но если быть точным, то в этом случае можно говорить только о коде, эквивалентном дуальному коду.
Можно также просто получить порождающую матрицу в систематическом виде. Воспользуемся алгоритмом деления и выпишем для каждой информационной позиции
многочлен
где
Тогда многочлен
является кодовым слоном, так как
Используя коэффициенты многочлена в левой части равенства в качестве элементов порождающей матрицы, получаем
В этой систематической порождающей матрице индексы координат информационных символов пробегают числа от
до
Чтобы выписать такую порождающую матрицу,