5.4. МАТРИЧНОЕ ОПИСАНИЕ ЦИКЛИЧЕСКИХ КОДОВ

Эту главу мы начали кратким обсуждением связи проверочной матрицы с корнями многочленов, лежащими в расширении поля. В следующих параграфах, в которых рассматривались циклические коды, проверочным матрицам уделялось мало внимания. А сейчас самое время заняться связью циклических кодов с их порождающими и проверочными матрицами.

Имеется много способов формирования этих матриц. Прежде всего проверочную матрицу можно формировать в расширении ноля так, как это было сделано в § 5.1. Если нулями являются элементы при то

что в матричном виде можно переписать как

Заменим теперь эту -матрицу над на -матрицу над заменяя каждый элемент вектором-столбцом коэффициентов многочлена, представляющего над Это дает проверочную матрицу над но некоторые строки этой матрицы могут быть линейно зависимыми и, следовательно, являются излишними. Удалим наименьшее число строк, необходимое для построения матрицы с линейно независимыми строками. Это приведет к проверочной матрице кода.

Хотя описанная процедура проясняет связь между корнями порождающего многочлена и проверочной матрицей кода, она слишком сложна для использованпя. По порождающему многочлену можно построить необходимые матрицы, даже не переходя в расширение ноля. Одним из способов сделать это является построение порождающей матрицы непосредственно по порождающему многочлену. Так как кодовые слова записываются в виде с то в матричной форме имеем

Проверочная матрица соответственно равна

где проверочный многочлен циклического кода. Для проверки равенства

рассмотрим величины в силу равенства равные пулю при Но тогда

и, следовательно, так определенная матрица действительно является проверочной матрицей. Теперь видно, что дуальный код для циклического кода с порождающим многочленом также является циклическим, гак как представляет собой его порождающую матрицу и имеет вид порождающей матрицы циклического кода. Порождающий многочлен дуального кода равен взаимному к многочлену Иногда при рассмотрении циклических кодов дуальным называют код, порожденный многочленом но если быть точным, то в этом случае можно говорить только о коде, эквивалентном дуальному коду.

Можно также просто получить порождающую матрицу в систематическом виде. Воспользуемся алгоритмом деления и выпишем для каждой информационной позиции многочлен

где

Тогда многочлен является кодовым слоном, так как

Используя коэффициенты многочлена в левой части равенства в качестве элементов порождающей матрицы, получаем

В этой систематической порождающей матрице индексы координат информационных символов пробегают числа от до Чтобы выписать такую порождающую матрицу,

необходимо только вычислить все остатки от деления на Используя описанные в § 3.2 методы, теперь можно выписать и проверочную матрицу кода. Она равна