4.6. СТРУКТУРА КОНЕЧНОГО ПОЛЯ

Ранее в данной главе мы изучали, как строить поле. Предполагая, что можно найти простой многочлен степени над нолем мы научились строить конечное поле с элементами.

Теперь изменим точку зрения на противоположную. Вместо того чтобы строить ноле, предположим, что нам дано конечное поле, и докажем, что независимо от происхождения этого поля всегда можно предполагать, что оно построено соответственно идеям, изложенным в предыдущих параграфах. Никаких других полей так построить нельзя.

В процессе работы над материалом данного параграфа мы углубим «наше понимание структуры конечных нолей. Структурные свойства будут полезны во многих приложениях. Мы докажем также, что для всех нолей Галуа существуют простые многочлены всех степеней.

Определение 4.6.1. Число элементов наименьшего подполя поля называется характеристикой поля

Теорема 4.6.2. Каждое поле Галуа содрржит единственное наименьшее подполе, число элементов которого равно простому числу. Следовательно, характеристика каждого поля Галуа является простым числом.

Доказательство. Поле содержит элементы 0 и 1. Для задании подполя рассмотрим подмножество обозначая его элементы через Это подмножество является циклической группой по сложению, которая должна содержать конечное число элементов. Мы покажем, что простое число и что Сложение в

является сложением по модулю так как С образует циклическую группу по сложению. В силу закона дистрибутивности умножение также должно быть умножением по модулю ибо

где элемент суммируется а раз и суммирование ведется но модулю Следовательно, умножение также является умножением по модулю По умножению каждый элемент обратим, так как последовательность образует циклическую подгруппу в С.

Таким образом, подмножество С содержит единичный элемент, замкнуто относительно операций сложения и умножения и содержит элементы, обратные его элементам и по сложению, в по умножению. Следовательно, оно является подполем, и арифметика в этом подполе есть арифметика по модулю Но это в точности поле, описываемое теоремой 4.2.3, и, следовательно, должно быть простым.

В поле Галуа мы построили подполе где простое число. В частности, если с которого мы начинаем, само является простым числом, то, как мы видим, поле можно., интерпретиропать как поле чисел по модулю Следовательно, для заданною простого числа действительно существует только одно поле с данным числом элементов, хотя, конечно, оно может быть представлено мпогими разными способами. Два поля, различающиеся только представлениями, называются изоморфными.

Мы увидели, что исходное поле является расширением подполя Теперь мы рассмотрим многочлены над корнями которых являются некоторые выбранные элементы поля Для большей точности введем следующее определение.

Определение 4.6.3. Пусть некоторое ноле, пусть расширение поля и пусть элемент Простой многочлен наименьшей степени над для которого называется минимальным многочленом элемента над

Мы должны доказать, что минимальный многочлен всегда существует и является единственным.

Теорема 4.6.4. Каждый элемент из имеет единственный минимальный многочлен над Если минимальный многочлен элемента равен является корнем многочлена то делит

Доказательство. Прежде всего всегда является корнем многочлена представляющего собой многочлен над Воспользуемся теоремой об однозначном разложении:

где множители в правой части — все простые многочлены над полем Если корень левой части, то в правой части должен найтись некоторый член, корнем которого является Это может быть только один из членов правой части, так как над расширением простые многочлены дальше разлагаются в произведение линейных членов и констант, и может быть корнем только одного из линейных членов.

Чтобы доказать вторую часть теоремы, положим

где степень многочлена меньше степени так что не может быть его корнем. Но

следовательно, должен равняться нулю, и теорема доказана. Следствие 4.6.5. Если — все различные многочлены над являющиеся минимальными для одного или нескольких элементов из то

Доказательство следует из теоремы, так как каждый такой элемент является корнем многочлена

При разложение сводится к равенству

которое мы уже встречали в теореме 4.5.2. Минимальный многочлен над элемента принадлежащего является многочленом первой степени

Теорема 4.6.6. Пусть произвольный многочлен над Тогда существует расширение в котором распадается на произведение линейных множителей.

Доказательство. Без потери общности можно предположить, что приведен. Построим последовательность расширений

по следующему правилу. На каждом шаге запишем в виде произведения простых многочленов над Если еще имеются нелинейные множители, то выберем один из них, скажем и построим расширение поля используя в качестве простого модуля. В этом расширении можно разложить далее, поскольку новый элемент у является корнем многочлена Таким образом (в случае необходимости унифицируя обозначения) будем действовать до тех пор, пока все множители не станут линейными. Поскольку степень конечна, этот процесс закончится после конечного числа шагов. С

Определение 4.6.7. Любое расширение поля в котором многочлен над распадается в произведение линейных множителей и констант, называется полем, разложения многочлена

Теперь у нас есть все необходимое для описания структуры произвольного поля Галуа.

Теорема 4.6.8. Пусть — примитивный элемент поля Галуа являющегося расширением поля и пусть степень минимального многочлена элемента Тогда число элементов в поле равно и каждый элемент может быть представлен в виде

где — элементы поля

Доказательство. Очевидно, что каждый элемент вида

принадлежит нолю Такое разложение единственно, так как если

— другое представление элемента то

и следовательно, а является корнем многочлена степени что противоречит выбору числа Всего имеется таких элементов следовательно, число элементов поля не меньше

С другой стороны, каждый ненулевой элемент поля может быть представлен в виде некоторой степени элемента а. Но если минимальный многочлен элемента а, то Следовательно,

Полученное равенство можпо использовать для того, чтобы выразить элемент через сумму меньших степеней элемента а:

Полученное соотношение можно повторно применять для редукции любой степени элемента а к линейной комбинации степеней что дает

и т. д. Следовательно, каждый элемент поля может быть представлен в виде линейной комбинации элементов так что не может быть больше и теорема доказана. Следствие Каждое поле Галуа содержит элементов, где некоторое простое, положительное целое число.

Доказательство. Каждое поле Галуа содержит подполе с элементами, к которому надо применить теорему

Заметим, что теорему 4.6.8 можно использовать для того, чтобы связать с каждым элементом поля некоторый многочлен степени не выше путем простой замены элемента а на неопре» деленную переменную х. Эти многочлены можно рассматривать как элементы поля. Складываться и умножаться они будут по модулю минимального многочлена элемента а. Это в точности то же самое поле, которое получается в теореме 4.4.3, если в качестве простого многочлена выбрать Следовательно, число элементов в каждом поле Галуа равно степени простого числа, и каждое поле Галуа может быть построено с помощью арифметики по модулю простого многочлена.

Наконец, мы должны доказать и обратное: такое поле существует для каждого простого и целого положительного числа Прежде всего установим некоторые предварительные результаты.

Теорема 4.6.10. Пусть характеристика поля равна Тогда для любых элементов из и любого положительного целого

Доказательство. Предположим, что теорема верна для Тогда

Возведем это равенство в степень:

и снова используем теорему для

Повторяя эту процедуру раз, получаем

Следовательно, теорему надо доказать только для Воспользовавшись биномиальным разложением

видим, что достаточно доказать, что в поле выполняется равенство

Но для каждого

является целым числом, а простое. Следовательно, знаменатель делит а число кратно Таким образом, и поскольку арифметикой целых чисел в поле является арифметика по модулю то в биномиальный коэффициент . Наконец, если то , а если нечетно, то Это завершает доказательство теоремы.

Теорема 4.6.11. Пусть простое, положительное целое число. Тогда наименьшее поле разложения многочлена рассматриваемого над полем содержит элементов.

Доказательство. Каждый многочлен над имеет наименьшее поле разложения. Пусть наименьшее поле разложения многочлена Тогда в поле многочлен имеет корней (возможно, кратных). Мы покажем, что все корней различны и образуют поле. Из этого будет следовать, что содержит элементов.

Для того чтобы доказать, что множество корней образует поле, достаточно показать, что оно замкнуто относительно операций сложения и умножения и содержит обратные для всех ненулевых элементов. Пусть корни многочлена Согласно теореме

так что также корень многочлена, и, следовательно, множество замкнуто относительно операции сложения. Далее,

и, таким образом, тоже является корнем, и множество корней замкнуто относительно оиерации умножения. Далее, —а является аддитивпым обратным элементу а, так что каждый элемент имеет аддитивный обратный. Аналогично легко проверить, что если а — корень многочлена, то также его корень.

Наконец, проверим, что все корней многочлена различны. Это вытекает из вида формальной производной:

так как в поле Следовательно, многочлен не имеет кратных корней.

Теперь мы получили обращение теоремы 4.6.9. Следствие Следствие 4.6.12. Для каждого простого и положительного целого числа существует поле Галуа с элементами.

Покажем, наконец, что если является не простым числом, а степенью простого числа, то можно построить как расширение поля Для этого достаточпо доказать существование над простых многочленов степени

Теорема 4.6.13. Для каждого целого положительного над каждым конечным полем существует хотя бы адин простой многочлен степени

Доказательство. Так как — степень простого числа, то также яаляется степенью простого числа. Согласно следствию 4.6.12, существует поле с элементами. Это поле содержит примитивный элемент а, и, по теореме 4.6.8, минимальный многочлен этого элемента а над является простым многочленом степени Следствие 4.6.14. Для каждого целого положительного над каждым конечным полем цеапвует хотя бы один примитивный многочлен степени

Доказательство. Пусть а — примитивный элемент ноля и пусть минимальный многочлен элемента а над Тогда в поле многочленов по модулю примитивный элемент является корнем многочлена так что многочлен х представляет собой примитивный элемент поля. В заключение главы рассмотрим вопрос о существовании квадратного корня в поле Галуа.

Теорема 4.6.15. Каждый элемент поля имеет в этом поле квадратный корень. Для нечетных простых половина ненулевых элементов поля имеет квадратный корень в Половина ненулевых элементов поля имеет квадратный корень в расишрении а не в

Доказательство. Так как нулевой элемент имеет квадратный корень в любом поле, то рассматривать надо только ненулевые элементы поля. Сначала рассмотрим поле характеристики 2 с примитивным элементом а. Тогда порядок элемента а является

нечетным числом. Каждый элемент поля может быть записан в виде для некоторого и поэтому если четно, и если нечетно. В любом случае является элементом поля

Рассмотрим теперь поле характеристика которого равна простому нечетному числу а примитивным элементом является где у — примитивный элемент расширения (порядка четно, так как равно степени нечетного простого числа. Любой элемент может быть записан в виде а или в виде для некоторого Тогда если четно, то и принадлежит нолю а если нечетно, то и принадлежит полю но не полю так как в этом случае не кратно

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)

ЗАМЕЧАНИЯ

Материал данной главы обычен для математической литературы. Свойства полей Галуа описываются во многих книгах по абстрактной алгебре, например в книгах Биркгофа и Маклейна [1953], а также Ван дер Вардсна [1950, 1953] Однако стандартное изложение является формальным, уделяет основное внимание абстрактным свойствам и содержит мало примеров и приложений. В книге Берлекэмпа [1968] подробпо рассматриваются те свойства полей Галуа, которые используются в теории кодирования