15.1. ОГРАНИЧЕННЫЙ ПО ПОЛОСЕ ГАУССОВСКИЙ КАНАЛ

Пусть на вход общего сигнального канала в течение некоторого длительного интервала можно подавать любую непрерывную функцию где пробегает значения от 0 до и выполняется условие конечности интеграла

Эгот интеграл от называется энергией сообщения для сигнала Если сгремнтся к бесконечности, то средняя мощность определяется как предел

при условии, что он существует; здесь энергия сообщения на интервале длины Если сигнал выбирается случайно из ансамбля сигналов, то используются другие определения мощности, такие, как предел математического ожидания отношения по ансамблю сигналов.

Каналы обычно накладывают ограничения на вид допустимых сигналов. Канал, ограниченный по полосе, — это канал, который пропускает лишь те сигналы с модулированной несущей, которые известны под названием ограниченных по полосе сигналов. Сигнал с модулированной несущей определяется выражением

где вещественные функции, задающие так называемые амплитудную модуляцию и фазовую модуляцию соответственно, называются вещественной и мнимой компонентами модуляции соответственно. Последние два термина объясняются зачастую более удобным альтернативным комплексным описанием модуляции

где Комплексный сигнал ограниченный по полосе, представляет собой лишь математическую фикцию; наблюдаемый сигнал определен ранее. Величина называемая несущей частотой, постоянна и не играет существенной роли в изучаемых нами задачах, хотя и имеет главенствующее значение в передаваемом сигнале.

Спектр сигнала определяется преобразованием Фурье

Ограниченный по полосе сигнал — это сигнал, спектр которого сосредоточен в малом интервале частотной оси около несущей частоты Длина этого интервала называется шириной полосы и обозначается причем меньше . В идеале при но на практике приемлемо более слабое условие, такое, как при

После кодирования кодовое слово или последовательность кодовых слов должны быть отображены в модулированные сигналы или Эта операция отображения называется модуляцией, а обратная ей операция называется демодуляцией. Изучение этих операций составляет главный предмет теории цифровой связи. Исторически исследование контролирующих ошибки кодов велось независимо от исследования цифровой модуляции. В этой главе, однако, мы будем придерживаться такого подхода к системам модуляции и демодуляции, при котором вопросы, относящиеся к контролирующим ошибки кодам и к цифровой модуляции, излагаются совместно.

Выходной сигнал ограниченного по полосе гауссовского канала с вводным сигналом определяется сверткой

где ограниченная но полосе функция, называемая импульсным откликом канала, а шумовой сигнал выборочная функция гауссовского случайного процесса.

Гауссовский шум является стандартом, который обычно используется для суждения о качестве схемы модуляции даже в том случае, когда допускается использование модема при другом шумовом процессе. Более того, в качестве стандартного гауссовского шумового процесса выбирается белый шум. Односторонняя спектральная плотность сигнала в виде белого шума равна

Теория цифровой связи утверждает, что если то можно рассматривать входной и выходной сигналы изучаемого нами канала лишь в дискретные равноотстоящие моменты времени Поэтому дискретный во времени входной сигнал будем представлять как совокупность отсчетов или, короче, где вещественны. Хорошо известная теорема отсчетов позволяет восстановить по отсчетам.

Обычно удобно выбирать (быть может, путем добавления к модулятору и демодулятору специальных выравнивающих

Рис. 15.1. Некоторые наборы сигшлон а — нещесгвсппые модуляционные алфавиты, б - комплексные модуляционные ялфамгш (фалгвгя телеграфия).

фильтров) так, чтобы равнялось нулю при отличных от нуля, и равнялось единице при равном нулю. Тогда принятый сигнал представляется дискретными отсчетами

где — отсчет вносимого аналоговым каналом шума в моменты к . В случае когда выходной отсчет зависит лишь от входного отсчета, говорят, что межсимвольная интерференция отсутствует. Если гауссовский процесс, то комплексные гауссовские величины с нулевым средним. Более того, можно так организовать передачу по каналу, чтобы гауссовские случайные величины можно было рассматривать как независимые Этот случай изучается в первую очередь.

Очень часто при построении цифровой системы связи для представления -битовых байтов выбирают совокупность -вещественных или комплексных чисел, называемую набором сигналов (или модуляционным алфавитом) На рис. 15.1 приведены некоторые типичные наборы палов. Представлены четыре модуляционных алфавита с вещественными значениями,

объединяемые названием -нчнан амплитудная модуляция, и шесть модуляционных алфавитов с комплексными значениями, для обозначения которых используется несколько названий, а именно фазовая теле! рафия (сокращенно квадратурная амплитудная модуляция, амплитудно-фазовая модуляция (сокращенно АФМ). Не обсуждая выбор наборов сигналов, рассмотрим лишь их использование применительно к кодированию.

Как правило, кодовое слово длины над отображается в последовательность элементов модуляционного алфавита длины (Возможны и другие варианты: например, модуляционный алфавит объема может использоваться с кодом над путем отображения символов кодового слова в пары букв алфавита.) Демодулятор, принимающий жесткое решение, вновь отображает множество вещественных или комплексных чисел, представляющее собой последовательность в множество символов модуляционного алфавита, а затем и в символы кодового слова.